等效重力场的运用

“等效重力场法”物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移例1如图所示，倾角的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度，有一个质量为的带电小球，以速度沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经内小球的位移是多大？（取）解析：（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图可知，小球必带正电，且，所以；从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为、。（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做“平抛运动”（严格地讲是类平抛运动，这里只是为了方便说明和处理，以下带引号的名称意义同样如此。），基本处理的方法是运动的分解。如图，小球在轴方向做匀速直线运动，在轴方向做“自由落体运动”，则有，其中，，解得：，所以内的总位移大小为考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近。例2如图所示，一条长为的细线，上端固定，下段拴一质量为的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为，方向水平向右。已知当细线偏离竖直位置的夹角为时，小球处于平衡状态，如果使细线的偏转角由增大到，然后将小球由静止开始释放，则：（1）应为多大，才能使在细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零？（2）若，那么（1）问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间？解析：（1）从“等效重力场”观点看，小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”，初始释放点和几何最低点是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点，如图所示，它们应该关于等效“最低点”对称，所以；（2）时，小球的振动可近似看成简谐运动，由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半，即，其中所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为与传统的处理方法相比较，等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程，达到了事半功倍的效果。例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为，在其最低点处放一质量为的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求大小。解析：小球同时受到重力和电场力作用，可认为小球处在等效重力场中。小球所受的等效重力大小为，其中，且如图又有，即，也就是等效重力的方向与竖直方向成。故图中为等效“最低点”，为等效“最高点”。小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”，在点等效重力提供向心力，即，可得对小球从运动到的过程应用动能定理代入相关物理量解得：此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义。例4如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长的绝缘细绳一端固定在点，另一端系有质量为的带电小球，小球原来静止在点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直面内绕点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？解析：只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即，方向竖直向上。金属板间的电压增大为原来的3倍时，有，方向仍竖直向上，则小球的等效重力大小为，方向竖直向上，其中。小球自由时只有在最高点才可能处于稳定平衡状态，因此为等效“最低点”，相应地为等效“最高点”。小球要完成竖直面内的圆周运动，应有对小球从运动到的过程应用动能定理解得：小球运动到等效“最低点”时，绳中拉力最大。由向心力公式可得：所以等效“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别。等效重力场法实际上是等效转化思想在电场部分的一种应用，利用等效转化思想可将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。深入理解和体会这种思想，并将其推广应用到其它物理学领域，可以为自己的学习、研究带来极大的方便。