解析几何知识点更新

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。外心到三顶点的距离相等三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。内心到三角形三边距离相等。直线与圆1．直线方程：⑴点斜式：)(xxkyy⑵斜截式：bkxy；⑶截距式：1byax；⑷两点式：121121xxxxyyyy⑸一般式：0CByAx，（A，B不全为0）。2．两条直线的位置关系：3．几个公式：⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）⊿ABC的重心G：（3,3321321yyyxxx）；⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200BACByAxd⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2221BACCd；4．圆的方程：⑴标准方程：①222)()(rbyax②222ryx。⑵一般方程：022FEyDxyx（)0422FED注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF0；直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注222111::bxkylbxkyl21,21bbkk121kk21,ll有斜率0:1111CyBxAl,1221BABA且02121BBAA不可写成0:2222CyBxAl1221CBCB（验证）分式5．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）①Rd点在圆上；②Rd点在圆内；③Rd点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）①Rd相切；②Rd相交；③Rd相离。⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR）①rRd相离；②rRd外切；③rRdrR相交；④rRd内切；⑤rRd0内含。6．与圆有关的结论：⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。圆锥曲线方程知识点一、曲线和方程1．曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1）曲线C上的点的坐标都是_______________；2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都_______________。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2，求轨迹方程练习：1。已知线段AB的长为10，动点P到A、B两点的距离的平方和为122，则动点P的轨迹方程为________________________2．设P为双曲线42xy2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________________________二、椭圆1．定义：|PF1|___|PF2|=2a__|F1F2|=2c若2a=2c，则轨迹为________________；2a2c，则轨迹为_____________。2．几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦点顶点轴长离心率准线方程3．一些结论：（1）椭圆的一般方程：122nymx（m、n为不相等的正数）（2）12222mbymax与12222byax有相同的焦点。（3）|PF1|的最大值为a+c，最小值为a–c。练习：1。给定椭圆11003622yx，则其焦点坐标为__________和__________；焦距为________；长轴长为__________，短轴长为_________；离心率为________；准线方程为____________和_______________；若其上一点P到焦点1F的距离为6，则P到另一焦点2F的距离为_______；若AB为过焦点1F的弦，则2ABF的周长为___________。2．椭圆5522kyx的一个焦点是（0，2），那么k________3．写出下列椭圆的标准方程：①15,1cb，焦点在x轴上：___________________________;②长轴长为20，；离心率为53：________________________________________;③两焦点坐标分别为（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点25,23：___________________;④经过点（-2，3）且与椭圆364922yx有共同焦点：_______________________;⑤经过两点1,32,2,3BA：__________________________________________;三、双曲线1．定义：_|PF1|___|PF2|_=2a__|F1F2|=2c若2a=2c，则轨迹为_______________；2a2c，则轨迹为_____________。若无绝对值符号，则轨迹为__________________。2．几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦点顶点轴长离心率准线方程渐近线方程3．一些结论：（1）双曲线的一般方程：122nymx（m、n同号）（2）)0(2222byax与12222byax有相同的渐近线。（3）|PF1|无最大值，最小值为c–a练习：1。已知双曲线方程为1161222yx，则其焦点在轴上，焦点坐标为21,FF，顶点坐标为_____________________，渐近线方程为__________，准线方程为____________，离心率为_________；若点P为该双曲线上任意一点，且101PF，则_______2PF。2．已知双曲线方程为4422yx，MN过左焦点1F，且4MN，M、N同在左支上，则2MNF的周长为__________。3．求适合下列条件的双曲线的标准方程：①焦点在y轴上，焦距为16，渐近线方程为xy37②焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）③经过点2,315,3,2④以椭圆15822yx的焦点为顶点，顶点为焦点⑤与双曲线14416922yx有共同渐近线且过点3,34⑥一个焦点为)0,6(1F的等轴双曲线4．21,FF是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，则21PFF的面积是________四、抛物线1．定义：与定点和定直线的距离______的点的轨迹。2．几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围对称性焦点离心率|PF|=准线方程练习：1求满足条件的抛物线的标准方程：①焦点为F（-1，0）②准线为3y③过点（-3，2）④焦点在直线042yx上⑤和椭圆1162522yx有公共准线⑥焦点在y轴上，抛物线上一点)3,(mM到焦点的距离为52已知抛物线的方程为042yx，焦点为F，则①焦点F坐标为________，准线方程为_________，对称轴为______，焦点到准线的距离为_____；②若AB为过焦点的弦，则AB的最小值为_______；若A、B在准线上的射影分别为11,BA，则___________11FBA；③已知M（-1，-3），P为抛物线上一动点，则PFPM的最小值为________，此时P点的坐标为__________。五.椭圆中的结论：①内接矩形最大面积：2ab；②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则222211||1||1baOQOP；③椭圆焦点三角形：Ⅰ．2tan221bSFPF，（21PFF）；Ⅱ．点M是21FPF内心，PM交21FF于点N，则caMNPM||||；④当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；4.双曲线中的结论：①双曲线12222byax（a0,b0）的渐近线：02222byax；②共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，≠0）；③双曲线焦点三角形：Ⅰ．2cot221bSFPF，（21PFF）；Ⅱ．P是双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为)(,aa；④双曲线为等轴双曲线2e渐近线为xy渐近线互相垂直；5.抛物线中的结论：①抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质：Ⅰ．x1x2=42p；y1y2=－p2；Ⅱ．pBFAF2||1||1；Ⅲ．以AB为直径的圆与准线相切；Ⅳ．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；Ⅴ．sin22pSAOB。②抛物线y2=2px(p0)内接直角三角形OAB的性质：Ⅰ．2212214,4PyyPxx；Ⅱ．ABl恒过定点)0,2(p；Ⅲ．BA,中点轨迹方程：)2(2pxpy；Ⅳ．ABOM，则M轨迹方程为：222)(pypx；Ⅴ．2min4)(pSAOB。③抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点)0,(aA，则：Ⅰ．当pa0时，顶点到点A距离最小，最小值为a；Ⅱ．当pa时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为22pap。六、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之____为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为__________；当1e时，轨迹为__________；当1e时，轨迹为__________；当0e时，轨迹为__________.七、直线与圆锥曲线1．位置关系（1）联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0_______；0_______；0_______（2）特殊情况：若直线与双曲线的渐近线______，则直线与双曲线______但只有一个交点．．．．；若直线与抛物线的对称轴______，则直线与抛物线______但只有一个交点．．．．；2．弦长公式：|AB|=___________________________________练习：1。已知直线1)1(xay与曲线axy2恰有一个公共点，求实数a的取值范围。2．已知斜率为2的直线经过椭圆14522yx的右焦点1F，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长3．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的标准方程。4．求双曲线14416922yx被点A（8，3）平分的弦PQ所在直线的方程。5．在抛物线xy642上求一点，使它到直线04634yx的距离最短，并求出最短值。6．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴。