计算方法期末模拟试题

线性代数(理)综合复习资料一、选择填空题(60分，每题2分)1．排列542613的逆序数为______________。2．行列式122305403中，元素2的代数余子式为。3．设010100001A，则1A=。4．设A是三阶方阵，5A，则22AA。5．设2110154214321A，则A的秩)(Ar。6．n个方程、n个未知量的齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是。7．n个方程、n个未知量的非齐次线性方程组bAx，当其系数行列式A满足时有唯一解。8．设21,vv是非齐次线性方程组bAx的两个解，则是齐次线性方程组0Ax的解。9．设三阶方阵A与对角阵211相似，则A的特征值为。10．设有向量T），，（111，Tx），，（11，则当x时，与正交。11．若EA2，则A的特征值只能是。12．设向量组321,,线性无关，则当k＝_____时，向量组12，23k，31线性相关。13．设nnijaA)(为n阶方阵，若，则称A为正交矩阵。14．二次型2226843),,(zyzxzyxyxzyxf对应的对称矩阵为A=。15．已知矩阵111111111A可逆，则1A。16．线性方程组12345123452345123451323022635433xxxxxxxxxxxxxxxxxxxa有解的充要条件是a。17．已知矩阵2941246212311521A，元素6的代数余子式为，A=。18．方程0347534453542333322212223212xxxxxxxxxxxxxxxx的根为。19．n个方程、n个未知量的非齐次线性方程组Axb有解的充要条件是。20．设行列式1112132122233132335aaaaaaaaa，则313233212223111213222222222aaaaaaaaa。21．设A是正定矩阵,则下面论断错误的是()。（1）A是对称矩阵；（2）A非奇异；（3）0A（4）A的元素皆为正实数。22．下面论断错误的是()。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。23．下列向量组中线性无关的向量组是（）。（1）（121）、（22-1）、（000）；（2）（1-12）、（110）、（-121）、（01-1）；（3）（1111）、（1010）、（1000）；（4）（100）、（112）、（224）。24．设矩阵nmijaA)(的秩为r，则下列说法错误的是（）（1）矩阵A存在一个r阶子式不等于零；（2）矩阵A的所有1r阶子式全等于零；（3）矩阵A存在r个列向量线性无关；（4）矩阵A存在rm个行向量线性无关。25．设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是()（1）A与B等价的充要条件是()()rankArankB；（2）A可逆的充要条件是A等价于nE；（3）A与B等价的充要条件是存在可逆阵PQ、，使APBQ；（4）若A与B等价，则AB。26．对n阶矩阵A和非零常数k，下列等式中正确的有（）（1）kAkA（2）kAkA（3）nkAkA（4）nkAkA。27．设A和B皆为n阶方阵，则下面论断正确的是()（1）如果ABO，则AO或BO；（2）111()ABBA；（3）AAA，其中A为A的伴随矩阵；（4）()TTTABBA。28．对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。29．下列说法错误的是（）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。30．关于最大无关组，下列说法错误的是（）（1）向量组与其最大无关组是等价的；（2）等价的向量组有相同的秩；（3）一个向量组的最大无关组是唯一的；（4）如果向量组所含向量个数等于它的秩，则该向量组线性无关。二、计算下列行列式(40分,每题10分)1．14916491625916253616253649D。2．2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaaD。3．120000132000013200..............000032000013nD。4．122222222232222.......................Dn。三、(80分，每题10分)1．已知向量组)1121(1，)020(2x，)2045(3线性相关，试求x的值2．求向量组12131(,,,)，23120(,,,)，31342(,,,)，44311(,,,)的秩和一个极大（最大）线性无关组，并将剩余的向量用该极大线性无关组线性表出。3．设向量组123,,线性无关，证明：122331,,线性无关。4．设向量组123,,线性无关，记11，2232，312323，证明：123,,也线性无关。5．设n阶矩阵A、B及BA均可逆，试证：ABABBA1111)()(。6．已知102213410A，计算1()XAAE。7．已知100110111A且EABA2，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B。8．已知向量组1131，2112，3313，5044，问：（1）1，2，3，4是线性相关还是线性无关？为什么？（2）求1，2，3，4的一个极大无关组。四、(60分，每题15分)1．设有线性方程组1231231233632314xxxxxxxxaxb，问ab、为何值时，方程组①有唯一解？②无解？③有无穷多解？。2．为何值时，非齐次线性方程组12312321231xxxxxxxxx①有唯一解？②无解？③有无穷多解？。3．λ取何值时,齐次线性方程组0)3(14202)8(023)2(321321321xxxxxxxxx有非零解？并在有非零解时求出它的通解。4．为何值时，非齐次线性方程组1232123123424xxxxxxxxx有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。五、(60分，每题15分)1．设矩阵122212221A，求：（1）A的全部特征值；（2）各特征值对应的特征向量。2．设矩阵111111111A，求5A。3．求一正交变换XPY，将二次型222123121233322(,,)fxxxxxxxx化为标准形。4．求一正交变换使化二次型222123123232334(,,)fxxxxxxxx成标准形。