计算方法考核知识点

计算方法考核知识点第1章计算方法与误差考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。3．掌握有效数字，准确数位的求法。例题1、近似数x*=0.231关于真值x=0.229有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。2、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。3、下列说法错误的是（）。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。参考答案：1、（2）2、（3）3、（4）第2章一元非线性方程数值解法考核知识点：区间二分法，一般迭代法，牛顿迭代法、弦截法，收敛性。考核要求：1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。2．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性3．熟练掌握用牛顿迭代法求方程近似根的方法。了解其收敛性。4．熟练掌握弦截法。了解其收敛性。例题1、方程x3−2x−5=0在区间[1,3]有()个正根(1)1；(2)2；(3)3；(4)无正根2、用牛顿迭代法求方程x3−2x−5=0的牛顿迭代公式为3、已知求方程f(x)=0在区间[a,b]上的根的迭代公式为2,1,0),(1kxxkk对于其产生的数列kx，下列说法正确的是（）(1)若数列kx收敛，则迭代函数ϕ(x)唯一；(2)若对∀x∈[a,b],1，则kx收敛；(3)若∀x∈[a,b],1，则kx收敛；(4)若∀x∈[a,b],1L，则kx收敛第3章线性方程组直接解法考核知识点：简单消元法，元消元法，矩阵的三角分解。考核要求：1．了解简单消元法、元消元法的基本思想和使用条件2．掌握矩阵的三角分解（Doolittle分解,Crout分解）3．熟练掌握用列主元消元法求解线性方程组的方法。例题1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组2、设矩阵A的LU分解如下：6001032211012001542774322baA则该分解式中a,b的值分别为（）（1）a=2,b=6；（2）a=6,b=2；（3）a=2,b=3；（4）a=−1,b=2。第4章线性方程组的迭代解法考核知识点：向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。考核要求：1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。3．熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。例题：1、已知方程组Ax=b，其中14514,101332101103bA（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式（2）写出（1）中迭代方法的一种迭代格式。解：交换方程组的前两行，则原方程组Ax=b等价于14145,101311033210bA（1）此时系数矩阵为严格对角占优矩阵，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。（2）2、设矩阵111,232221413xA,则Ax和A的值分别为（）(1)8,8；(2)8,7；(3)8,6；(4)7,7。3、若线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（）（1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。第5章插值与曲线拟合考核知识点：拉格朗日插值法及其余项，差商，差商的性质，牛顿插值法及其余项，曲线拟合的最小二乘法。考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。2．了解差商及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。3．掌握两点三次埃尔米特插值法和一般埃尔米特插值法极其余项。4．了解曲线拟合的最小二乘法。例题：1、设1039)(48xxxf，则]2,,2,2[810f和]3,,3,3[910f的值分别为（）（1）1，1；（2）9×8!，0；（3）9，0；（4）9，1。2、设L(x)和N(x)分别是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为r(x)和e(x)，则（）（1）L(x)≠N(x),r(x)=e(x)；（2）L(x)=N(x),r(x)=e(x)；（3）L(x)=N(x),r(x)≠e(x)；（4）L(x)≠N(x),r(x)≠e(x)。3、已知下列函数表：x0123f(x)13927（1）写出相应的三次Lagrange插值多项式；（2）计算f(1.5)的近似值138234)(233xxxxLf(1.5)≈N(1.5)=5第6章数值积分与微分考核知识点：插值求积公式，代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。考核要求：1．插值求积公式及其性质。2．了解代数精度概念，掌握插值求积公式代数精度的判别方法。3．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生例题：1、若使下列求积公式中的代数精度尽量高，20210)2()1()0()(fAfAfAdxxf则求积公式中的待定系数应分别为()(1)34,31,1210AAA(2)31,34,1210AAA(3)34,34,1210AAA（4）31,34,31210AAA2、求定积分的梯形公式的代数精度为。3、已知求积公式)2()1()0(31)(20fffdxxf则其代数精度为。第7章常微分方程数值解法考核知识点：欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法。考核要求：1．了解欧拉法，改进欧拉法的基本思想及其公式推导；熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法、求微分方程近似解的方法。2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。例题：1、改进的Euler法的整体截断误差是（）(1)O(h)；(2)O(h2)；(3)O(h3)；(4)O(h4)。2、求解常微分方程初值问题的梯形方法的的公式为3、对于一阶微分方程初值问题1)0(2yyxy，取步长h=0.2，分别用Euler法和Euler预报－校正法求y(0.2)的近似值