计算教学中的创新思维培养之九

43三位数乘两位数理想的计算教学应当是在理解算理的基础上掌握算法。小学数学中的算理是由数学概念、运算定律、运算性质构成的，是探索与解释算法的理论依据，而算法则可以理解为由基本运算及其运算顺序所构成的计算步骤。算法主要解决怎样计算的问题，而算理主要回答为什么这样算的问题。通常所说的计算法则是用来说明计算规则和逻辑顺序的，是人为的规定与选择，是算理的合理运用。三位数乘两位数常规的计算法则强调从低位算起，有固定的操作程序，但可能掩盖学生对部分积理解的缺失，造成“理解的中止”和“认知的被动”。突破原有的计算法则，打破从低位算起的定势，就能创造出多样化的计算方法，不仅可以降低计算过程中的认知负荷，而且有利于推动学生深入地理解算理，培养学生的创新思维。一、三位数乘两位数教学的重难点三位数乘两位数教学的重点与难点是一致的，都是计算过程中部分积的理解与对位。由于常规的竖式计算都是从低位算起的，第一层的部分积从个位写起，第二层的部分积向左错一位，有了这样的方法，积的对位似乎不成问题。但如果考察学生是否真正理解部分积的大小与含义，那么被这种按程序机械计算所掩盖的理解上的缺失就会暴露出来。例如，判断竖式中“箭头”所指的两个数哪个大，哪个小。重复的调查表明，学生对部分积大小判断的正确率低于50%。即便学生能比较熟练地算出答案，要正确解释第二层的部分积似乎也很困难，这与在理解算理的基础上掌握算法相去甚远。有分析认为，造成这种现象的原因是从学生自己的算法过渡到竖式简化的方法缺乏内化的思考，学生在获得简化的竖式计算方法时没有融入他们自己的理解。具体地说，学生在运用计算法则进行计算时，可能只是关注了乘的顺序与数字的空间排列，而忽视了对数概念的理解与位值的思考，此时的计算只是行走在计算法则的层面上，没有深入到算理的理解之中，这可能也是人们将这样的计算称之为“按照程序机械运行”的原因。计算过程如果异化为按照程序机械地操作，就没有思考性可言了。为了弥补学生在计算过程中理解的缺失，避免出现部分积对位的错误，教学中通常采用的方法是揭示算法中看不见的0，让学生把第二层部分积末尾的“虚0”写出来，并要求学生指出每一层的部分积分别是哪些数相乘得到的。为了便于学生解释与说明，这样的活动还可以结合具体的问题情境来进行，如一盒回形针有126个，35盒回形针有多少个？根据乘法竖式在□里填数。5盒有□个。30盒有□个。126×356303784410379×341516（）1137（）12886418×293762（）836（）1212244上述计算用横式表示就是126×35＝126×（5+30）＝126×5+126×30。结合问题情境可以把两个部分积理解为5盒回形针有630个，30盒回形针有3780个。通过这样的解释，引导学生理解计算过程中各数的实际意义，避免计算活动总是行进在抽象而没有理解的层面上。二、三位数乘两位数计算的新方法过去的教学比较强调按照固定的法则进行计算。以人民教育出版社1994年10月第1版第五册《数学》（第7页）为例，概括出的笔算法则如下：先用乘数个位上的数去乘被乘数，得数的末位和乘数的个位对齐；再用乘数十位上的数去乘被乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来。以467×89为例，按照上述法则，计算的中间过程可以分解为如下①～⑥式。这个计算过程的优点很明显，有固定的程序，便于学生操作和掌握。但它的缺点也很明显，从个位算起，部分积从低位写到高位，与通常读数写数的顺序不一致。上述①～⑥步，单独地看，每一步的计算都不复杂，可以直接运用乘法口诀。实际的计算过程并不那么简单，既需要思考计算的顺序和记忆乘得的结果，还需要计算加法和处理进位，多项思维活动交织在一起，增加了记忆的负荷与计算的难度。简单地说，上述计算方法是乘法和加法交替进行的，即“边乘边加”。任何一个三位数乘两位数，中间的计算过程（得到两层部分积）需要经过6次乘法与4次加法。以前面的例子为例，这4次加法分别是：由①+②与②+③得到第一层部分积（63+540+3600），出现2次进位加法；再由④+⑤与⑤+⑥得到第二层部分积（560+4800+32000），出现1次进位。能不能改变“边乘边加”的计算方法，特别是减少计算过程中处理进位加法的次数？答案是肯定的。比如①+③肯定不会有进位，同理，④+⑥也一定不会有进位。这样，原来的加法算式就转变成了（63+3600）+（560+32000）+（540+4800）。三个括号中的算式对应的乘法依次分别是407×9，407×80，89×60。上面的分析写成计算过程，可以表示如下：这就是第一种新的计算方法，这种计算方法利用了几百零几的数乘一位数不会出现进位加法的便利，即467×89＝407×（80+9）+60×89。需要说明两点：一是这种计算方法颠覆了原有的计算程序，每一层的部分积书写时都是从高位开始的，对数概念与位值的理解提出了更高的要求，为了方便学生确定每层部分积的最高位，在初学阶段可以带上数位顺序表，也可以先写出横式作为计算过程的辅助记录。二是在三层部分积中，前两层是不会出现进位的，计算比较简单，难点集中在第三层。如果学生口算两位数乘一位数比较熟练，可以直接写出第三层部分积，反之，则可以把60×89拆解为60×9与60×80进行计算，也就是把45第三层部分积再分成两层来书写。新的计算方法灵活地运用了乘法对加法的分配律，但没有违背计算中的位值原理，达到了尽可能减少处理进位加法次数的目的。事实上，三层部分积也可以通过这样的组合得到，即⑥+③，⑤+①，②+④，这就是第二种新的计算方法。其计算过程如下：这种计算方法可以理解为467×89＝（400+67）×89。第一层部分积是由400×89得到的，本质是两位数乘一位数，第二层与第三层部分积是由67×89得到的。其中，第二层部分积是“头乘头尾乘尾”（即60×80+7×9）得到的，不会出现进位加法。第三层部分积是“交叉相乘的积相加”（即60×9+80×7）得到的，出现了两次进位。按这种方法计算，难点也是集中在第三层，即交叉相乘积相加这一步。两位数乘两位数，，四个字母分别代表1－9的数（不考虑位值），交叉相乘积相加（即a×d+b×c）共有6561道题目，根据加法是否出现进位分类如下：类型不进位个位进位十位进位个位十位都进位数量3296293123995百分比50.24%44.67%3.64%1.45%对个位进位的题目作进一步分析，又可分类如下：类型一位数加一位数两位数加一位数两位数加两位数数量37314041154占此类的百分比12.73%47.90%39.37%占全部的百分比5.69%21.40%17.59%表中可以看出，交叉相乘积相加不进位与进位的比例差不多，各占50%左右。以上各种类型，最难的是个位和十位都进位的，较难的是两位数加两位数个位进位的，两项相加占总题量的19.04%（1.45%+17.59%）。因此，从统计的角度，“交叉相乘的积相加”遇到较难题的概率小于15。三、三位数乘两位数计算方法的实验作为一种新的尝试，我们在学生学习了两位数乘两位数之后，对上述两种新方法在不同的学校进行了实验。我们假设通过恰当的训练，学生是可以掌握这两种新方法的。为了探明教学这两种方法的效率，我们对练习的题量与时间进行了严格的控制。由于两种新方法联系的重要基础并不完全相同，我们设计了不同的前测题。学习第一种新方法的重要基础是几百零几的数乘一位数，前测样题如下：435869676537×8×4×9×63240+243280学习第二种新方法的重要基础是两位数乘一位数的口算，计算的方法是“头乘头尾乘尾，ab×cd46交叉相乘的积相加”，前测样题如下：34812817×56×62×57×9515244802382219045022使用《新思维数学》（即浙教版《数学》）教材的班级，在学习一位数乘三位数与两位数乘两位数时，对以上两类计算都有一系列的训练。实验前，我们分别以上述两类计算作为前测和基础，规定在10分钟内完成11题，正确9题或以上即可进入实验。前测通过后，在不同的班级（由同一老师执教且基础相似）分别教学第一种或第二种新方法。为了便于比较和对照，避免由于数的不同带来计算难度的差异，两组实验材料中例题、练习以及后测的题目只是计算方法不同，题目都完全相同，保持了两组实验材料最大的相似性。实验要求新课教学安排1课时，师生用20分钟左右的时间探讨算法之后，即让学生独立练习，教师要及时反馈并纠正错误。之后隔日安排两次练习，每次练习8道题，两次练习之后再隔日安排后测。后测安排了10道题，重点考查学生按新方法计算的速度和正确率。结果如下：第一种新方法第二种新方法实验人数116112正确率86.47%81.61%平均每人完成时间约7分约8分从这里可以看出，三位数乘两位数的两种新方法是可以被学生掌握的。相信如果适当增加练习的题量，计算的熟练程度和正确率都会有所提高。是什么可以让三位数乘两位数有不同的计算顺序？乘法分配律。为什么不同的计算方法可以得到相同的结果？数的概念与位值。新的计算方法对运算顺序进行了调整，减少了中间环节处理进位加法的次数，降低了“边乘边加”的难度，并要求在计算中主动思考数的意义与位值。最后，在笔算教学中，突破传统的计算方法，鼓励学生根据题目中数据特点创造出多样化的算法，不仅可以增强计算活动中的思考性，而且有利于培养学生的创新思维。