计算方法简明教程习题解析

第一章绪论1．设0x,x的相对误差为，求lnx的误差。解：近似值*x的相对误差为*****rexxexx=而lnx的误差为1ln*ln*ln**exxxex进而有(ln*)x2．设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。解：设()nfxx，则函数的条件数为'()||()pxfxCfx又1'()nfxnx,1||npxnxCnn又((*))(*)rprxnCx且(*)rex为2((*))0.02nrxn3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*11.1021x,*20.031x,*3385.6x,*456.430x,*571.0.x解：*11.1021x是五位有效数字；*20.031x是二位有效数字；*3385.6x是四位有效数字；*456.430x是五位有效数字；*571.0.x是二位有效数字。4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)***124xxx,(2)***123xxx,(3)**24/xx.其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数。解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102xxxxx***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510xxxxxx***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215xxxxxxxxxxxx**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010xxxxxxx5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343VR则何种函数的条件数为23'4343pRVRRCVR(*)(*)3(*)rprrVCRR又(*)1rV故度量半径R时允许的相对误差限为1(*)10.333rR6．设028Y，按递推公式11783100nnYY（n=1,2,…）计算到100Y。若取78327.982（5位有效数字），试问计算100Y将有多大误差？解：11783100nnYY100991783100YY99981783100YY98971783100YY……101783100YY依次代入后，有10001100783100YY即1000783YY，若取78327.982,100027.982YY*310001()()(27.982)102YY100Y的误差限为31102。7．求方程25610xx的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。解：25610xx，故方程的根应为1,228783x故1287832827.98255.982x1x具有5位有效数字2111287830.0178632827.98255.98228783x2x具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求1211NNdxx？解121arctan(1)arctan1NNdxNNx设arctan(1),arctanNN。则tan1,tan.NN12211arctan(tan())tantanarctan1tantan1arctan1(1)1arctan1NNdxxNNNNNN9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm？解：正方形的面积函数为2()Axx(*)2*(*)AAx.当*100x时，若(*)1A,则21(*)102x故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过21cm10．设212Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：21,02Sgtt2(*)(*)Sgtt当*t增加时，*S的绝对误差增加2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2rSSSgttgttt当*t增加时，(*)t保持不变，则*S的相对误差减少。11．序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：021.41y201(*)102y又1101nnyy10101yy10(*)10(*)yy又21101yy21(*)10(*)yy220(*)10(*)......yy101001028(*)10(*)1101021102yy计算到10y时误差为81102，这个计算过程不稳定。12．计算6(21)f，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？61(21),3(322),31(322)，99702。解：设6(1)yx，若2x，*1.4x，则*11102x。若通过61(21)计算y值，则***7***7**1(1)6(1)yxxyxxyx若通过3(322)计算y值，则**2******(32)632yxxyxxyx若通过31(322)计算y值，则***4***7**1(32)1(32)yxxyxxyx通过31(322)计算后得到的结果最好。13．2()ln(1)fxxx,求(30)f的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。22ln(1)ln(1)xxxx计算，求对数时误差有多大？解2()ln(1)fxxx,(30)ln(30899)f设899,(30)uyf则*u*412u故****310.0167yuuu若改用等价公式22ln(1)ln(1)xxxx则(30)ln(30899)f此时，****7159.9833yuuu第一章误差1.试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解:例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24Ar计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值:12222...qq其中112,2,2,3,...nnqqqn我们取前9项的乘积作为的近似值,得3.141587725...这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2.按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解:816.966.000017.3231.235793.1820.0152363.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?81.8970.008136.320050.1800解:五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字?解:两位5.若1.1062,0.947ab,是经过舍入后得到的近似值,问:,abab各有几位有效数字?解:已知4311d10,d1022ab,又0.2053210ab,433211110100.551010222dabdadbdadb,所以ab有三位有效数字;因为0.1047571410ab,43321110.947101.1062100.600451010222dabbdaadb所以ab有三位有效数字.6.设120.9863,0.0062yy,是经过舍入后作为12,xx的近似值.求1211,yy的计算值与真值的相对误差限及12yy与真值的相对误差限.解:已知-4-41112221211d,d,d=10,d1022xyxxyxxx,44111111110dd12drdr0.50100.9863xxxxxy;42222222110dd12drdr0.81100.0062xxxxxy;4221212drdrdr0.50100.81100.8210xxxx.7.正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.解:设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使:2dd2d1saaa,则要求211d0.5102200aa.所以边长的误差不能超过20.510cm.8.用观测恒星的方法求得某地维度为4502(读到秒),试问:计算sin将有多大误差?解:1dsincosdcos45022.9.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式212sgt确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的,而对t的测量有0.1s的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明:因为:221ddddddd;2.122sgttgtttsgtgttsstgtds与t成正比,dss与t成反比,所以当dt固定的时候,t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10.设0x,x的相对误差为,求lnx的绝对误差.解:已知dxx,所以lnx的绝对误差ddlnxxx.11.设x的相对误差为%,求nx的相对误差.解:1ddd%nnnnxnxxnxnxxx.12.计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何?解:已知343VR,设ddrRRaR,则要使得3ddrdlndln3dln3dln3dr31%VVVRRRRaV,则11%3a.