数字信号处理习题集大题及答案

1设序列x(n)={4，3，2，1}，另一序列h(n)={1，1，1，1}，n=0,1,2,3（1）试求线性卷积y(n)=x(n)*h(n)（2）试求6点圆周卷积。（3）试求8点圆周卷积。解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0}2二．数字序列x(n)如图所示.画出下列每个序列时域序列：(1)x(n-2);(2)x(3-n);(3)x[((n-1))6],(0≤n≤5);(4)x[((-n-1))6],(0≤n≤5);n12340.543210-1-2-3x(3-n)x[((n-1))6]n54321043210.5n12340.5543210x[((-n-1))6]3．已知一稳定的LTI系统的H(z)为)21)(5.01()1(2)(111zzzzH试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。解:0.52ReIm系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|0.5,0.5|z|2,|z|2因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5|z|211111213/25.013/4)21)(5.01()1(2)(zzzzzzH)1(232)()5.0(34)(nununhnn4．设x(n)是一个10点的有限序列x（n）={2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT，试确定下列表达式的值。(1)X(0),(2)X(5),(3)90)(kkX,（4）905/2)(kkjkXe解：（1）（2）（3）（4）5．x(n)和h(n)是如下给定的有限序列x(n)={5,2,4,-1,2}，h(n)={-3,2,-1}(1)计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)；(2)计算x(n)和h(n)的6点循环卷积y1(n)=x(n)⑥h(n)；(3)计算x(n)和h(n)的8点循环卷积y2(n)=x(n)⑧h(n)；比较以上结果，有何结论？解：（1）524-12-321524-121048-24-15-6-123-6-154-313-43214][]0[1900nNnxXW12][][]5[119180510奇偶奇数偶数nnnnnnxnxXnnW20]0[*10][][101]0[9090xkXkXxkk0]8[*10][][101]))210[((][]))[((2)10/2(902)10/2(9010)/2(xkXekXexkXemnxkjkkjkmNkjNy(n)=x(n)*h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2}(2)524-12-321524-121048-24-15-6-123-6-154-313-4322-134-313-432y1(n)=x(n)⑥h(n)={-13,4,-3,13,-4,3}(3)因为8(5+3-1),所以y3(n)=x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0}y3(n)与y(n)非零部分相同。6一个因果线性时不变离散系统，其输入为x[n]、输出为y[n]，系统的差分方程如下：y（n）-0.16y(n-2)=0.25x(n-2)＋x(n)(1)求系统的系统函数H(z)=Y(z)/X(z);(2)系统稳定吗?(3)画出系统直接型II的信号流图;(4)画出系统幅频特性。解：(1)方程两边同求Z变换：Y(z)-0.16z-2Y(z)=0.25z-2X(z)＋X(z)2216.0125.01)()()(zzzXzYzH(2)系统的极点为：0.4和－0.4,在单位圆内，故系统稳定。(3)(4)x(n)y(n)0.25zxnynz-1z-10.16ImRe00.4-0.4-j0.5j0.50)(jeH2.70.34227．如果需要设计FIR低通数字滤波器，其性能要求如下：(1)阻带的衰减大于35dB,(2)过渡带宽度小于/6.请选择满足上述条件的窗函数，并确定滤波器h(n)最小长度N解：根据上表，我们应该选择汉宁窗函数，8两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：.(1)序列y[n]的有效长度为多长？(2)如果我们直接利用卷积公式计算y[n]，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？(3)现用FFT来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。解：(1)序列y[n]的有效长度为：N+M-1；(2)直接利用卷积公式计算y[n]，需要MN次复数乘法(3)窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减(dB)阻带最小衰减(dB)矩形N/4N/8.1-13-21汉宁N/8N/2.6-31-44汉明N/8N/6.6-41-53布莱克曼N/12N/11-57-744868NN补零补零L点-DFTL点-DFTL点-IDFT需要LL2log3次复数乘法。9用倒序输入顺序输出的基2DIT-FFT算法分析一长度为N点的复序列x[n]的DFT，回答下列问题：(1)说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？(2)如果N=8,那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WNr)。(3)如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2[n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2[n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。(2)3级，4个，蝶距为2，WN0，WN2(3)y[n]=y1[n]+jy2[n]10已知系统函数2113.025.0125.02)(zzzzH，求其差分方程。解：2113.025.0125.02)(zzzzH2113.025.0125.02)()(zzzzXzY)25.02)(()3.025.01)((121zzXzzzY]}))[((]))[(({21][][]}))[((]))[(({21][][][][*2*110NNopNNepNnknNkYkYkYkYkYkYkYkYWnykY)1(25.0)(2)2(3.0)1(25.0)(nxnxnynyny11已知)1)(()81431)((121zzXzzzY，画系统结构图。解：)1)(()81431)((121zzXzzzY1111121125.0155.016)25.01)(5.01(1125.075.011)()()(zzzzzzzzzXzYzH直接型I：直接型II：级联型：并联型：x[n]y[n]0.75-0.125Z-1Z-1Z-1x[n]y[n]0.75zx[n]y[n]0.75z-1z-1-0.125x[n]y[n]Z-10.250.5x[n]y[n]0.250.5x[n]y[n]0.250.5Z-1x[n]y[n]Z-10.250.56-5[ny[n]0.250.5y[n]0.250.5Z-112若x(n)={3，2，1，2，1，2}，0≤n≤5，1)求序列x(n)的6点DFT，X(k)=？2)若)()]([)(26kXWngDFTkGk，试确定6点序列g(n)=?3)若y(n)=x(n)⑨x(n)，求y(n)=？1）分分分2,50]2,2,1,2,2,11[)1(232cos23cos432222322232)()(62636266564636266506kkk2）72}212123{)2()()()]([)()2(6502665026n，，，nxWkXWWkXkXWIDFTngknkknkkk，，3）90}9,8,14,20,15,16,10,16,13{)())(()()(}4,4,9,8,14,20,15,16,10,12,9{)()()(*)()(9809501nnRmnxmxnymnxmxnxnxnymm13用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应14画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。15简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。168点序列的按时间抽取的（DIT）基-2FFT如何表示？17已知，求x(n)。（6分）解：由题部分分式展开求系数得A=1/3，B=2/3所以（3分）收敛域z2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，则（3分）18写出差分方程表示系统的直接型和级联．．型结构。（8分）解：(8分)19计算下面序列的N点DFT。（1）（4分）（2）（4分）解：（1）（4分）（2）（4分）20设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3}，另一序列h(n)={1，2，1，2；n=0,1,2,3}，（1）求两序列的线性卷积yL(n)；（4分）（2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。（4分）（3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）解：（1）yL(n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6}（4分）（2）yC(n)={3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5}（4分）（3）c≥L1+L2-1（2分）21设系统由下面差分方程描述：（1）求系统函数H（z）；（2分）（2）限定系统稳定．．，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分）解：（1）（2分）（2）（2分）；（4分）23求112111)(zzZX，21z的反变换。25有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假定没有任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力≤10Hz,信号最高频率≤4kHz.试确定一下参量：（1）最小记录长度T0；（2）抽样点间的最大时间间隔（即最小抽样频率）；（3）在一个记录中最小点数N0解：(1)T0≥01F=0.1(s)(2)fs＞2fhT＜fh21=103421=0.125×103-(s)（3）N＞0fh2F=1042103=800N=2m=210=1024＞80026有一个线性移不变的系统，其系统函数为：2z21)21)(211(23)(111zzzzH1）用直接型结构实现该系统2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(nh解1)21111125123)21)(211(23)(zzzzzzzH……………………………..2分当212z时：收敛域包括单位圆……………………………6分系统稳定系统。……………………………….10分111112112111)21)(211(23)(zzzzzzH………………………………)1(2)()21()(nununhnn………………………………….15分27试用冲激响应不变法与双线性变换法将以