1.2.1几个常用函数的导数

1、导数的定义：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作或，即000000000()()()()limlimlim.()xxxfxxfxfxxfxfxxxxx0'()fx0'|xxy0000()()'()lim.xfxxfxfxx2、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：2.算比值：xxfxxfxy)()(1.求增量：3.取极限：xxfxxfxyyxx)()(limlim00)()(xfxxfy解：（1）求增量：0)()(ccxfxxfy0xy（2）算比值：（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零1、求函数(c是常数)的导数。cy下面我们求几个常用函数的导数。0lim0xyyx2、求函数的导数。yx00limlim11.xxyyx解：()()1,yfxxfxxxxxxx探究：P13在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数y=kx（k0）增（减）的快慢与什么有关？()fxkx函数的导函数为：yxO'()()'fxkxk结论：(2)42yxyx增加得最快，增加得最慢(3)0,0,||kkk导数大增加得快大,导数绝对值大减少得快3、函数的导数,)(2xxfy解：222()()()2()2yfxxfxxxxxxxxxxxxx，00()limlim(2)2.xxyfxxxxx4、函数的导数1(),yfxx11()()1()yfxxfxxxxxxxxxx，解：20011()limlim.()xxyfxxxxxx一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为xy1()'xnx探究：P14(1,1)1画出函数y=的图象，根据图象，描述它的x变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。从图知:当x0时，函数减少得快；当x0时，函数减少得慢。解：314444)()1(xxxy413333)()2(xxxy练习1求下列函数的导数：4)1(xy3)2(xy21(3)yxxy)4(221(3)yxx2332()2yxxx21)4(xxyxxxy2121)(121211213141)()2(xxy)(121xy1121121x12121xx解：练习2求下列函数的导数：34)2(xxyxxy)1(4121)1(xxy43x14343xy4414343xx312222)(xxxy解：2722712)3(233xy练习332,1xyxy求已知1、导数的定义3、熟记以下导数公式：（1）（C)‘=0（2）1)(nnnxx2、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤小结常数的导数等于零1、求函数(c是常数)的导数。cy下面我们求几个常用函数的导数。0lim0xyyx2、求函数的导数。yx00limlim11.xxyyx()fxkx函数的导函数为：'()()'.fxkxk3函数的导数,)(2xxfy00()limlim(2)2.xxyfxxxxx一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为xy(x)´=x-14函数的导数1(),yfxx20011()limlim.()xxyfxxxxxx基本初等函数的导数公式为了方便，以后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表：1(),'()fxcfx、若则0;*2()(),'()nfxxnNfx、若则1;nnx3()sin,'()fxxfx、若则4()cos,'()fxxfx、若则5(),'()xfxafx、若则6(),'()xfxefx、若则7()log,'()afxxfx、若则8()ln,'()fxxfx、若则cos;xsin;xln(0);xaaa;xe1(0,1);lnaaxa且1.x课堂练习P181、运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解1.1节例1。你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：0C)为f(x)=x2-7x+15().计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。08x解：26'(2)'(6)hhff在第和第时，原油温度的瞬时变化率就是和。00(2)()'(2)limlim(3)3.xxfxfxfxx0(6)()'(6)lim5.xfxfxfx同理例1、假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价。假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？'()pt解：根据基本初等函数导数公式表，有1.05ln1.05.t'(10)p所以，101.05ln1.050.08(/)元年。100如果上式中某种商品的p=5,那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？思考：P150.08/因此，在第10个年头，这种商品的价格约以元年的速度上涨。下面“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题：1[()()]''()'();fxgxfxgx、导数运算法则2[()()]''()()()'();fxgxfxgxfxgx、2()'()()()'()3[]'(()0).()[()]fxfxgxfxgxgxgxgx、2、熟记运算法则（1）（C)‘=0（2）1)(xx(3)xxcos)(sin（4）xxsin)(cosaxxaln1)(log（7）xx1)(ln（8）（5）()'lnxxaaa（6）()'xxee21.()''2.()'''3.()'''''4.()'AuAuuvuvuvuvuvuuvuvvv1、熟记以下导数公式：223x3例根据基本函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x的导数。'23''2'3'xx33解：y=（x）（x）（）（）223x。52(3)2354;yxxx(4)3cos4sin.yxx练习：求下列函数的导数：xey2)1(11)5(xxeeyxxy23log)2(xxxxysincos)6(例3、日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯度为x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%。'()cx解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。有25284'(90)52.84(10090)c(1)因为，5284()(80100).100cxxx5284()'100x25284'(100)5284(100)'(100)xxx20(100)5284(1)'(100)xx25284.(100)x90%52.84/所以，纯净度为，费用的瞬时变化率时元吨。25284'(98)1321(10098)c(2)因为，98%1321/所以，纯净度为，费用的瞬时变化率时元吨。函数f（x）在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢。由上述计算可知，它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的变化率的25倍。这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。'(98)25'(90).cc四、小结：1、充分掌握函数的四则运算的求导法则.2、先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略.3、在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数与方程的思想,解析几何的基本方法和理论来求解.解决问题时,关键在与理解题意,转化、沟通条件与结论,将二者有机地统一起来.