安庆大学近世代数期末试卷

-1-安庆师范学院《近世代数》期末试卷（时间120分钟）题号一二三四总分得分得分评卷人复查人二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）循环群的子群是循环子群。2.（）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3.（）存在一个4阶的非交换群。4.（）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。5.（）无零因子环的特征不可能是2001。6.（）无零因子环的同态象无零因子。7.（）模97的剩余类环Z97是域。8.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9.（）域是唯一分解整环。10.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。得分评卷人复查人一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1.设A、B是集合，|A|＝3，|B|＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=a3的在G中的指数是。3.设G＝a是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。4.在模12的剩余环R=｛[0],[1],……,[11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。5.环Z6的全部零因子是。6.整环Z[√-3]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3]中有两种本质不同的分解α＝=。姓名：_______________专业：班级：学号：______________----------------------------------------------------密-------------------------------封-------------------------------线--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2-得分评卷人复查人三、解答题（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝a的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2.求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。-3-3.在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。得分评卷人复查人四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。2.设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/},证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。-4-3.证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。