第4章流动阻力和水头损失-4344

4.3实际流体运动微分方程(N-S方程)流动阻力与水头损失24.3实际流体运动微分方程(N-S方程)理想流体运动微分方程（欧拉方程）111xyzdupXxdtdupYydtdupZzdt实际流体运动微分方程的导出思路：1.理想流体与实际流体的比较2.以应力形式表示的实际流体运动微分方程3.应力之间的关系（包括切向、法向应力）4.导出N-S方程实际流体运动微分方程（N-S方程）流动阻力与水头损失3一、理想流体与实际流体的比较•实际流体与理想流体的区别在于存在着粘性力。因此，在推导实际流体运动微分方程时，需要考虑剪切表面力，即粘性表面力。比较项理想流体实际流体粘性无有法向应力px=py=pz=pnpx≠py≠pz≠pn切向应力τ=0τ≠0微小六面体表面受力个数法向力6个切向力0个法向力6个切向力12个变形不变形变形流动阻力与水头损失4二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程•应用微元分析法进行公式的推导：–取微元体：取空间六面体为研究对象，边长dx、dy、dz–受力分析：•质量力——X、Y、Z•表面力——法向应力（6个）——切向应力（12个）注：应力符号中，第一脚标表示作用面法线方向；第二脚标表示应力方向。在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。流动阻力与水头损失5面法向应力切向应力AEACAGBHFHDH二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程xxpyypzzpxyxzyzyxzxzy()xxxxppdxx()yyyyppdyy()zzzzppdzz()xyxydxx()yzyzdyy()zxzxdzz()xzxzdxx()yxyxdyy()zyzydzz流动阻力与水头损失6–导出关系：由牛顿第二定律，可得（以x方向为例）：解得：Fma()()()xxxxxxyxyxyxzxxzxzxpXdxdydzPdydzPdxdydzxdxdzdydxdzydudxdydzdxdydxdydzzdt1()yxxxzxxpduXxyzdt二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程流动阻力与水头损失7–举一反三，得出结论：以应力形式表示的实际流体运动微分方程如下：方程中含有速度、压力、剪应力等共12个未知数，而运动微分方程联立连续性方程也仅有4个方程，方程不封闭，无法求解。1()1()1()yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzpduXxyzdtpduYxyzdtpduZxyzdt质量力表面力全加速度二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程流动阻力与水头损失8三、应力之间的关系1、斯托克斯假设：(1)、应力和变形速率成线性关系，具体的：切向应力与角变形率成线性关系；法向应力与线变形率成线性关系。(2)、当角变形率为零时，法向应力等于静压强，流体处于平衡状态。流动阻力与水头损失92.切应力之间以及切应力与应变之间的关系由广义牛顿内摩擦定律，即斯托克斯公式，可得：jiijuujiyxxyyxyzyzzyxzxzzxuuxyuuyzuuxz三、应力之间的关系流动阻力与水头损失103.法向应力与平均压应力p之间的关系：•实际流体中，由于粘性的存在，各方向的法向应力不相等，引入平均压强，实际等于热力学平衡压强。平均压力再加上附加法向力，构成实际流体的法向应力。即：•结合连续性方程，有：222xxxxxyyyyyzzzzzupppxupppyupppz32()3yxzxxyyzzuuupppppxyz三、应力之间的关系流动阻力与水头损失114.运动流体的应力状态•在运动粘性流体中，一点的表面应力与作用面不垂直，既有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面的方位有关，称其为应力状态。•一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面九个应力分量完全确定，且只有六个相互独立。表示为矩阵形式：xxxyxzyxyyyzzxzyyypPpp流动阻力与水头损失12•考虑到区分理想流体或粘性流体的静止或运动状态，上式可写为一般形式：•上式右边第一项为“静压强”项，第二项为“偏应力”项，由流体运动产生，流体静止时为零。000000xxxyxzyxyyyzzxzyzzpPpp流动阻力与水头损失13四、导出N-S方程•将应力关系代入实际流体运动微分方程的应力表达式中，可得（以x方向为例）：2212()()yxxxxzuuuuduupXxxyxyzxzdt2222221()()yxxxxxzuuuuuduupXxxyzxxyzdt2222221()xxxxuuudupXxxyzdt=0流动阻力与水头损失14•导出实际流体运动微分方程，即Navior-Stokes方程（简称N-S方程）：•N-S方程的物理意义：单位质量流体所受质量力、法向表面力和粘性切应力在三个坐标轴的投影和等于加速度。2222222222222222221()1()1()xxxxyyyyzzzzuuudupXxxyzdtuuudupYyxyzdtuuudupZzxyzdt质量力法向表面力全加速度切向表面力——粘性力四、导出N-S方程流动阻力与水头损失15•N-S方程具有更为普遍的意义：对于理想流体ν＝0，N-S方程成为理想流体运动微分方程，即欧拉方程；当ux＝uy＝uz＝0时，N-S方程变成欧拉平衡微分方程。•实际流体运动微分方程的适用条件：不可压缩流体。•N-S方程的可解性：–方程中共有四个未知数p、ux、uy、uz。N-S方程与连续性方程联立，方程封闭，理论上可解。–事实上，由于方程的非线性性，N~S方程的求解是一个复杂问题。大部分情况下不能获得精确解，仅对某些简单的层流问题可解，如：平行平板间层流、圆管层流等。说明：流动阻力与水头损失16【例4-2】不可压缩粘性流体，流经宽为2H的二维平板，流动是恒定流，且质量力略去不计，倘若流动状态是层流（即流体沿平板流动时，没有垂直于平板的速度分量）。试用N-S方程推导平板间的速度分布。【解】首先建立如图所示的平面坐标系xOy，其中x方向同流动方向一致。对于二维、恒定流且不计质量力，N-S方程和连续方程为yxoHH流动阻力与水头损失17•由于流动是层流，即：•由(c)式得：•由(b)式得：•由(a)式得：0yu0()xxxuuuyx0()pppxy22221d1dddxxpuupxyyx222222221(a)1(b)0(c)xxxxxyyyyyxyyxuupuuuuxyxxyuuuupuuxyyxyuuxyyxoHH流动阻力与水头损失18•或者•由于上式右边是y的函数，左边是x的函数，对右边积分时可以将左边项视为常数。进行两次积分：•积分常数和按边界条件，当时，因此：221ddddxpuxy1d1dddxupyCyx2121d2dxpuyCyCx1C2CyH0xu10C221d2dpCHx流动阻力与水头损失19•代入上式得：•在平板之间，速度呈抛物线分布，其中，平板中心线（即x轴处）流速最大，为(y=0处)：•其它处•可见，粘性流动层流流态的最大特征是速度分布呈抛物线分布。221d2dxpuHyx2max1d2dpuHx2max21yuuH4.4圆管层流分析流动阻力与水头损失21•分析Re≤2000时，水平长直圆形管道内水流的流动规律，包括：流速分布、流量计算、切应力分布规律、沿程水头损失的计算。•问题描述：设一根无限长水平管路，直径为D，水流层流。流动条件包括：4.4圆管层流分析zvRDxyo–等径长管道层流：流体质点仅沿轴向流动，而没有横向运动–管道内流动为轴对称流动–稳定流动–水平管道掌握流动阻力与水头损失22一、流速分布•由实际不可压流体的运动微分方程——N-S方程：–简化（1）：水平管道——质量力X=Y=0，Z=-g–简化（2）：层流——ux＝u，uy＝uz＝02222222222222222221()1()1()xxxxyyyyzzzzuuudupXxxyzdtuuudupYyxyzdtuuudupZzxyzdt流动阻力与水头损失23–简化（3）：由不可压缩流体连续性方程：有：及–简化（4）：对于稳定流动，有：0yxzuuuxyz0xux220xux0000yxzxxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuutttduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyz流动阻力与水头损失24•N~S方程简化为：222222221()01010puuxyzpypgzpuuxyzI流动阻力与水头损失25•引进二维圆柱坐标(r,θ)，由于管道的对称性，ux(y,z)＝ux(r)：•且:•则（I）式变成：•对上式进行二次积分，并代入边界条件:1.r＝0时，u取极值2.r＝R时，u＝022222222222111uuuuududuyzrrrrdrrdr2211()()pdududdurLdrrdrrdrdr1221ppppppxLLL/0dudr流动阻力与水头损失26•解得：圆管层流流速分布满足：可见，流速呈旋转抛物面形状分布。•最大流速：管轴线上的流速为管道内的最大流速，即当r=0时，有：因此又有：224puRrLII2max4puRL2max21ruuRruR流动阻力与水头损失27•在有效断面上对（II）式积分，得流量计算公式为：•断面平均流速：二、流量计算公式22max18322QpRpDvuALL22220444248128AARpQudARrdALpRrrdrLpRpDQLL得：流动阻力与水头损失28•切应力:•最大切应力：r=R时，•因此有：可见，剖面上的切应力服从“K”型分布。三、切应力分布2242dududydrdpRrdrLprLmax2pRLmaxrRyτ0uRr流动阻力与水头损失29•对于水平等径管路，沿程水头损失为:•根据以上圆管层流分析结果(平均流速)，有：圆管层流沿程阻力的计算公式为：——达西公式•其中：为层流沿程水力摩阻系数。四、沿程水头损失计算fph2223264642Re2fpLvhDLvLvv