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第4章一阶动态电路分析4.1电压和电流初始值的计算4.2RC电路的响应4.3RL电路的响应4.4一阶电路的三要素法*4.5微分电路和积分电路本章小结4.1电压和电流初始值的计算4.1.1动态电路的概念实际上,电路中除了电阻元件以外,常用的还有电容元件和电感元件,由于电容元件和电感元件的伏安特性为微分或积分关系,当电路发生变化时,由于电容和电感是储能元件,其电流、电压的变化不会即刻完成,需要一个过渡过程,所以我们把电容和电感称为动态元件,含有动态元件的电路称为动态电路。若描述动态电路的方程为一阶微分方程,就称这个电路为一阶动态电路,简称一阶电路。我们首先观察一个实验现象,在图4.1所示电路中,电感、电容与灯泡组成了三条支路,Us是直流电压源,S为电源开关。开关S断开时,三条支路都没有电流,这是一种稳定状态。当开关S闭合时,白炽灯EL1立刻正常发光,说明这一支路很快进入新的稳定状态;与电感串联的白炽灯EL2逐渐变亮,经过一段时间达到与白炽灯ELl同样的亮度,说明该支路经历了一个明显的过渡过程;白炽灯EL3一闪亮后就渐渐变暗,然后就不亮了,说明电容支路也经历了过渡过程。白炽灯ELl是个纯电阻,设其阻值为RL。开关S闭合后,该支路电流立刻达到稳定值,其电流随时间基本不变,如图4.2所示。白炽灯EL2与电感串联,开关S闭合后,由于电感对电流的阻碍作用,电流I2由零逐渐增大,最后电路达到稳定状态,所以白炽灯EL2逐渐变亮,最后和ELl同样亮,电流变化如图4.2所示。白炽灯EL3与电容串联,开关S闭合后,由于电容的储能作用,电容两极板间的电压从零逐渐增大到Us,电容器被充电,流过电容的电流I3由最大值逐渐减小到零,最后电路达到稳定状态,所以白炽灯EL3由最亮逐渐变暗,最后熄灭,电流变化如图4.2所示。分析电感和电容的性质可知电感和电容是储能元件,能量不能突变,这是产生动态过程的原因。L1RUIS图4.1过渡过程演示电路图4.2三条支路中电流曲线4.1.2换路定律为分析方便,我们约定换路时刻为计时起点,即t=0;并把换路前的最后时刻记为t=,换路后的初始时刻计为t=。、0、实质上是三点合一,但有区别,我们约定换路瞬间是不花费时间的。由于动态元件的储能不能突变,所以对电容元件换路前后的储能应相等,换路前后电容元件的储能分别为:而电容C是常数,所以就有同样,电感元件在换路前后的储能为他们也应相等,而电感L是常数,所以就有0000)0(21)0()0(21)0(22ccccCuWCuW)0()0(CCuu)0(21)0()0(21)0(22LLLLLiWLiW)0()0(LLii综上所述,在换路瞬间,电容元件的电流值有限时,其电压不能突变;电感元件的电压值有限时,其电流不能突变。这一结论称为换路定律,其表达式为(4.1)换路定律可以确定电路发生瞬态过程的起始值,是研究瞬态过程必不可少的依据。根据换路定律,对于一个原来没有电流流过的电感,在换路瞬间,电感相当于开路;对于一个原来没有充电的电容,换路瞬间,电容相当于短路。4.1.3电压和电流初始值的计算方法我们把电路在换路后瞬间,即时刻元件上的电压、电流的值称为初始值。求解初始值,通常采用等效电路法,步骤如下:(1)在t=时刻,根据其等效电路,我们可以求出电容上的电压或电感上的电流。(2)在t=时刻,根据换路定律可以得出,,并由时间确定激励电源在时的具体值。(3)以电压值等于的理想电压源替代原电路的电容元件,以电流值等于的理想电流源替代原电路的电感元件,画出换路后电路的等效电路。)0()0()0()0(CCLLuuii0t0t0t0000)0(cu)0(Li)0()0(ccuu)0()0(LLii)0(cu)0(Li注意:此电路与原动态电路只在瞬间等效;等效电路是一个电阻电路。(4)由等效电路,求各元件的电压和电流初始值。特别注意,电阻上的电流、电压;电容上的电流;电感上的电压在换路时是可以跃变的。例4.1在图4.3(a)所示的电路中,直流电压源的电压Us=10V,R1=5Ω,R2=3Ω,开关S合上前电容电压为零。在时合上S,试求各的初始值。(a)原电路图000cu0tccuuuiii,,,,,2121(b)时的等效电路(c)时的等效电路图4.3例4.1的图解因为开关S合上前电容没有接入电路,则如电路如图4.3(b)所示,则有根据换路定律得开关S闭合后,电容C接入电路,画出其时刻的等效电路如图4.3(c)所示。可求得因故有=0,V=2A,=2A0t0t0)0(Cu0)0()0(CCuu0t0)0(2u30)0()0(222Rui10)0(1SUu510)0()0(111Rui)02()0()0()0(21Ciii例4.2在图4.4(a)所示的电路中,U=10V,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=6Ω。换路前电路己稳定,t=0时,开关S闭合,试求电路中的初始值。原电路图(b)时的等效电路(c)时的等效电路图4.4例4.2的图LLccsuiuiii,,,,,0t0t解开关S闭合前,电路处于稳态,理想电感元件相当于短路,理想电容元件相当于开路,电路如图4.4(b)所示,所以有=2A=3×2=6V根据换路定律,开关S闭合后瞬间,则有=6V,=2A开关S闭合后,画出时刻的等效电路如图4.4(c)所示,可得=-1A=5AA=(-3×2)=-6V由上例计算结果可见,虽然电感元件中的电流不能突变,但其两端电压是可以突变的。电容元件上的电压不能突变,但其电流是可以突变的。而电阻两端的电压和电流都可以突变。321021)0(RRUiL)0()0(2CLiRu)0()0(CCuu)0()0(LLii0t66)0()0(3CCRui210)0(1RUi4)0()0()0()0(CLSiiii)0()0()0(2RL2LiRuuLuCiui4.2RC电路的响应电阻电路没有独立源就没有响应;而动态电路即使没有独立源,只要电容元件的电压或电感元件的电流不为零,就会由他们的初始储能引起响应。我们把动态电路在没有独立电源作用下产生的响应称为零输入响应,即无电源激励,输入信号为零;如果换路前储能元件没有储能,仅由外加激励引起的响应叫做零状态响应。4.2.1RC串联电路的零输入响应(a)(b)图4.5RC串联电路的零输入响应RC电路的零输入响应,实际上就是分析它的放电过程。如图4.5(a)所示的RC串联电路,在换路前,开关S是合在位置1上的,电源对电容元件充电。在t=0时将开关从位置1合到位置2,使电源脱离电路,此时,电容元件已储有能量,其上电压的初始值uC(0+)=US;于是电容元件经过电阻R开始放电,电路如图4.5(b)所示。此后电容电压不断下降,其所储存的能量由电能转变为热能。由图4.5(b)列KVL方程:而代入上式可得整理上式得(4.2)式(4.2)是关于uC(t)的一阶常系数线性齐次微分方程,由微分方程的概念,得出该微分方程的通解为0)()(CRtutu)()(RtRitudttduCtiC)()(0)(])([CCtudttduCR0)()(CCtudttduRCRCt-CAe)(tu式中,A为积分常数,由电路的初始条件确定。由换路定律有则,(4.3),(4.4)式中=RC,τ是表示时间的物理量,其量纲为时间秒(s),称为电路的时间常数。根据式(4.3),式(4.4)做出电流、电压随时间变化的曲线,如图4.6所示,可见RC电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减的变化曲线,其衰减速率取决于的值,越大,放电就越慢。图4.6一阶RC电路的零输入响应波形SUuu)0()0(CCSRCUAAeAeu00C)0(tSRCtSRCtCeUeUeutu)0()(CtSRCtSeRUeRURtuti)()(R0t0t)(),(Ctitu例4.3供电局向某企业供电电压为10kV,在切断电源瞬间,电网上遗留有kV的电压。已知送电线路长L=30km,电网对地绝缘电阻为500MΩ,电网的分布每千米电容为,求(1)拉闸后1分钟,电网对地的残余电压为多少?(2)拉闸后10分钟,电网对地的残余电压为多少?解电网拉闸后,储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电,这是一个RC串联电路的零输入响应问题。电网总电容为:放电电阻为:时间常数为:电容上的初始电压为:电容放电过程中,电压变化的规律为V,故,由此可见,电网断电,电压并不是立即消失。电网断电经历1分钟,仍有8.6kV的高压,断电10分钟,仍有95.3V的电压。210μF/km008.00CF104.2μF24.030008.070LCC8105MΩ500Rs120RCkV2100UteUtu0c)(0tkV6.8)s60(cuV3.95)s600(cu4.2.2RC串联电路的零状态响应图4.7RC电路接通直流电源RC串联电路的零状态响应实质上就是电容C的充电过程。如图4.7所示,RC串联电路与直流电源连接,S断开,电容C没有储能。t=0时刻,将开关S闭合,RC串联电路与外激励US接通,电容C充电。S闭合后,由KVL得由上述三式得dtduCiRiuUuuCRSCRSCcUudtduRC解得式中,A为积分常数,由电路的初始条件确定。由换路定律有所以电容器两端的电压为V,(4.5)电阻两端的电压为V,(4.6)电容电流为A,(4.7)式中=RC为时间常数,单位是(s),反映了电容器的充电速率。越大,充电过程越缓慢;越小,充电过程越快。,、在瞬态过程中随时间变化的曲线,如图4.8所示。)1()(1CtRCeAtu0)0()0(CCuuSUAc()11tRCsstutUeUe0t0t0tR()()SCStutUutUe1SS()tRCtUUiteeRR)(tiRucu图4.8RC串联电路零状态响应波形例4.4在图4.7所示的电路中,开关S闭合前,电容C未储能,已知US=10V,R=1MΩ,C=10F,试求:(1)电路的时间常数;(2)开关S闭合10s时,电容两端的电压(t)。解(1)时间常数=10s(2)开关S闭合后,电源对电容C充电,电容充电的规律为V,t=10s时=6.32V66101010RC)1(10)1()(101cttSeeUtu0t)1(10)1(10)10(11010ceeu4.2.3RC电路的全响应当电路中的响应不仅与电容的初始储能有关,而且与外施激励也有关的情况,称为一阶RC电路的全响应。线性动态电路的全响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和,即全响应=零输入响应+零状态响应如图4.7所示电路,如果电容C在S闭合前就具有电压,,换路后初始条件由式(4.3)得电容电压的零输入响应为由式(4.5)得电容电压的零状态响应为故得电容电压的全响应为V,(4.8)oUu)0(CSCcUudtduRCoUuu)0()0(CCttCCheUeutu0)0()()1()(tSCpeUtu)()()(tututuCpChCteU0)1(tSeU0t例4.5在图4.9(a)所示的电路中,开关S处于1的位置,电路已处于稳态;当t=0时,开关换路至2的位置,试求电容上的电压。已知:R=3kΩ,C=3F,U1=3V,U2=5V。(a)(b)图4.9例4.5的图解(1)求初始值和时间常数当t=0-时,有V由换路定律有=3V电路时间常数s2)由式(4.3)得电容电压的零输入响应为V,)(tuC3)0(1cUu)0()0(
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