第4讲代数综合

1第4讲代数综合一元二次方程方程组代数综合知识一次函数二次函数反比例函数整数根问题代数式求值问题公共点问题代数综合题型几何变换问题二次函数的最值函数与不等式问题反比例函数问题一．一次函数1．正比例函数ykx一定经过_____点．2．一次函数的性质：（1）当0k时，其图象定经过_________象限；0k时，其图象定经过_________象限．（2）当0b时，其图象与y轴交于_____半轴；当0b时，其图象与y轴交于_____半轴．3．一次函数ykxb与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________．4．若两直线111:lykxb与222:lykxb平行，则两直线的一次项系数1k_____2k．二．二次函数1．二次函数的定义：一般地，形如__________________（a，b，c常数，_______）的函数称为x的二次函数，其中a为二次函数的_________，b二次函数的_________，c二次函数的_________．2．二次函数的解析式填表：一般式顶点式交点式解析式顶点坐标对称轴3．二次函数2yaxbxc与x轴的交点为_____________和_____________，y轴的交点为_________．4．五点画图法：在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：_____________；_____________；_____________；_____________；_______________________________________．三．反比例函数1．反比例函数的性质：当0k时，函数图象的两个分支分别位于_________象限；当0k时，函数图象的两个分支分别位于_________象限．知识关联图基础知识回顾22．如图，反比例函数图象上一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为______．如图，反比例函数图象上一点向x轴或y轴作垂线，并连接原点，所围成三角形的面积为______．四．函数的平移：1．平移口诀“左加右减，上加下减”．2．填表：向左平移m个单位向右平移m个单位向上平移n个单位向下平移n个单位ykxbykxmbykxmbykxbnykxbn2()yaxhk2()yaxmhk2()yaxmhk2()yaxhkn2()yaxhknkyx（了解）kyxmkyxmkynxkynx五．函数的对称：1．对称口诀“关于谁，谁不变，另外一个变相反，关于原点都要变”．2．填表：关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称ykxbykxbykxbykxb2()yaxhk2()yaxhk2()yaxhk2()yaxhk2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxckyx（了解）kyxkyxkyx3．关于特殊直线xn或ym的对称的解题步骤：（1）先用五点画图法画出函数的图象，再根据题意进行对称；（2）求出对称后的顶点坐标；（3）若关于xn对称，a的符号和值都不变；若关于ym对称a的符号改变，值不变；（4）根据a和对称后的顶点坐标利用顶点式2()yaxhk写出对称后的解析式．OyxBAABxyO3【练1】（2014年中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22yxmxn经过点(0,2)A，(3,4)B．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．【练2】（2013年中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线222ymxmx（0m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。（1）求点A，B标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在21x这一段位于直线l的上方，并且在23x这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。真题演练4【例1】（2013年东城一模）已知关于x的一元二次方程2(3)10xmxm．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．例题精讲【题型总结】整数根问题1．给出参数范围：通过计算可得是的一次形式即的形式，然后通过已知条件可以求出参数的取值范围，在取值范围内取值使方程的根为整数即可；2．分离常数法：通过计算可得是完全平方形式即的形式（假设是一元二次方程中的参数），然后利用求根公式表示出及，并分离常数化简成分子不含参数的形式，例如表示为或，然后通过分母是分子的因数及负因数求解分母中的参数；3．枚举法：通过计算可得是的二次形式，但不是完全平方，即的形式，那么设，之后整理成，再利用平方差分解成，由题可得是整数，所以把分解成两个整数相乘的形式，可得，因为等号左右两边对应相等，可将等号左右两边分别相加再相等及可求出的值.5【例2】（2013年海淀期末）抛物线2330ymxmxm与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OBOC．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点1(,)Pxb与点2(,)Qxb在（1）中的抛物线上，且12xx，PQn.①求2124263xxnn的值；②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是____________________.【题型总结】代数式求值——消元思想常见的代数式求值的题型为整体代入及降次，解题思想就是用消元的方法减少未知数的个数，并最终消除所有未知数，得到答案．1．整体代入：题中给出或能够根据题意得出一个基本关系式，将此关系式直接代入或变形后代入题中要求的代数式即可．2．降次：若题中题中的代数式出现较高的次幂，比如，可将变形为，再将由题中得到基本关系式变形为的形式，代入变形后的代数式即可．6【例3】（2014年怀柔一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数22yxbxc的图象经过(1,0)和3(,0)2两点．（1）求此二次函数的表达式．（2）直接写出当312x时，y的取值范围．（3）将一次函数(1)2ymx的图象向下平移m个单位后，与二次函数22yxbxc图象交点的横坐标分别是a和b，其中2ab，试求m的取值范围．yx11O【题型总结】函数与不等式问题解题思路：找交点→分区域→比高低→写结论（注意等号的取舍）要求画图要精准，用数形结合的方式来分析，寻找到临界点，计算即可．7【例4】（2013年丰台一模）二次函数2yxbxc，其顶点坐标为1,4M．（1）函数的解析式；（2）函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线yxn与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．【题型总结】一次函数与二次函数的公共点问题本题型经常会涉及一次函数与二次函数相切的问题，相切时联立两函数得一元二次方程，利用二次方程的求出参数的值．1．直线可平移：已知一次函数的值，可先画出的图像，然后向上及向下平移进行分析．2．直线绕某点旋转：已知一次函数的值或与之间存在一定的数量关系，先找出一次函数一定经过的定点（或已知一次函数经过一个定点），比如，过定点画直线，并绕着定点旋转进行分析．3．二次函数关于水平线翻折：二次函数的一部分关于水平线翻折，其余部分保持不变，需要画出变换后的图象再进行分析．8【例5】（2014年石景山一模）已知关于x的方程22(1)10mxmxm有两个实数根，且m为非负整数．（1）求m的值；（2）将抛物线1C：22(1)1ymxmxm向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线2C，若抛物线2C过点(2,)Ab和点(4,21)Bb，求抛物线2C的表达式；（3）将抛物线2C绕点(1,)nn旋转180得到抛物线3C，若抛物线3C与直线112yx有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围．【题型总结】函数的几何变换1．平移口诀“左加右减，上加下减”．2．对称口诀“关于谁谁不变，关于原点都要变”．3．关于特殊直线或的对称，只要求出对称后的顶点坐标及判断的符号是否发生改变，利用顶点式写出解析式即可．4．旋转：函数的旋转一般只考旋转，在旋转过程中不变，因此求出旋转后的顶点坐标及判断的符号是否发生改变，利用顶点式写出解析式即可．9【例6】（2014年密云一模）已知抛物线232yaxbxc（1）若1ab，1c求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若13a，2cb证明抛物线与x轴有两个交点；（3）若13a，2cb且抛物线在22x区间上的最小值是3，求b的值.【题型总结】二次函数的最值含参数的二次函数求最值的问题主要是考查分类讨论的思想，注意分类的情况要全面，解题思路都围绕着对称轴与自变量的取值范围进行分类讨论1．“动轴定区间”型的二次函数最值2．“动区间定轴”型的二次函数最值3．“动轴动区间”型的二次函数最值10【例7】（2015年海淀期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数kyx的图象经过点(1,4)A，(,)Bmn．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数2(1)yx的图象经过点B，求代数式32234mnmnmnn的值；（3）若反比例函数kyx的图象与二次函数2(1)yax的图象只有一个交点，且该交点在直线yx的下方，结合函数图象，求a的取值范围．12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO【题型总结】反比例函数问题1．反比例函数与一次函数或二次函数交点的问题．2．反比例函数的几何意义的问题11【练1】（2014年朝阳一模）已知关于x的一元二次方程23(1)230mxmxm．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围（2）在（1）的条件下，关于x的二次函数23(1)23ymxmxm的图像与x轴交点的横坐标都是整数，且4x时，求m的整数值．【练2】（2013年西城一模）已知关于x的一元二次方程22(4)0xaxa．（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线21:2(4)Cyxaxa与x轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a，将抛物线1C向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C．求抛物线2C的解析式；（3）点(,)Amn和(,)Bnm都在(2)中抛物线2C上，且A、B两点不重合，求代数式33222mmnn的值．全能突破12【练3】（2013年海淀一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22ymxmxn与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)．（1）求B点坐标；（2）直线142yxmn经过点B．①求直线和抛物线的解析式；②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为(0,)Dd．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线142yxmn只有两个公共点时，d的取值范围是__________．【练4】（2011年中考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数2330ymxmxm的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当45ABC时，求m的值；（3）已知一次函数ykxb，点,0Pn是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数2330ymxmxm的图象于点N．若只有当22n