第5章_12线性定常系统的综合.

§5－1引言●状态反馈系统的结构为：CuB+A+xxyKv+-第五章线性定常系统的综合§5－1引言1.系统的综合给定系统的状态空间表达式:Cxyttxx(0)BuAxx00寻找一个控制，使得在其作用下系统的性能指标满足所期望的要求。u2.状态反馈和输出反馈(1).状态反馈若系统的控制可表示为系统状态的一个线性向量函数,即则称为状态反馈控制。其中为参考输入。vKxuv§5－1引言●状态反馈系统状态空间表达式原系统的状态空间表达式为：CxyBuAxxCxyBvxBKAx)(vKxu引入状态反馈后，系统的状态空间表达式为：系统的性能主要由系统矩阵决定的，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系统的性能满足期望的要求。§5－1引言●状态反馈系统的传递函数原开环系统的传递函数为：系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点确定，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统传递函数的极点以使系统的性能满足期望的要求。BAsICsW10)()(B)BKAsI(C)s(WK1vKxu引入状态反馈后，系统的闭环传递函数为：§5－1引言(2).输出反馈若系统的控制可表示为系统输出的一个线性向量函数,即则称为输出反馈控制。其中为参考输入。vHyuv●输出反馈系统的结构为：CuB+A+xxyHv+-§5－1引言●输出反馈系统状态空间表达式原系统的状态空间表达式为：CxyBuAxxCxyBvxBHCAx)(vHxu引入输出反馈后，系统的状态空间表达式为：通过合理的选择输出反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系统的性能满足期望的要求。§5－1引言●输出反馈系统的传递函数原开环系统的传递函数为：BAsICsW10)()(BBHCAsICsWH1)()(vHyu引入输出反馈后，系统的闭环传递函数为：§5－1引言（3）状态反馈与输出反馈的比较●系统的输出通常只是系统状态的部分信息，所以输出反馈仅相当于部分状态反馈。●如果输出反馈阵H存在，则满足同样要求的状态反馈矩阵K一定存在，只需取K=HC即可。●如果状态反馈阵K存在，则满足同样要求的输出反馈矩阵H不一定存在，因为由HC＝K，通常解不出H。§5－1引言定理1：状态反馈不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观性。3.闭环系统的能控性与能观性证明：受控系统和状态反馈系统的能控性判别证分别为：K0][120BABAABBMn])()()([12BBKABBKABBKABMnc则容易证明FMFBABAABBBBKABBKABBKABMnnc01212][])()()([§5－1引言其中，F为如下形式的非奇异变换矩阵：第一项：BIBKBBKAKBBKAKBBKAKBBKAKBKIFnn)()()()(32第二项：BBKAABIKBB)()(现用数学归纳法证明FMMc0FMMc0FM0显然的§5－1引言假定第i项成立：第三项：BBKABBKABKBKAABBKABKABKABKBAKBKBABBIA222)()]()([)]([])([)(BBKABKBAKBBKBAKBAKBBABIAiiiii12321)(])([])([)(则i+1项为：BKBABKBAKBBBKAABKBAKBBKBAKABBKBAKBAKBBABIAiiiiiiii)(])([)(])([])([])([)(111221§5－1引言由于F为非奇异矩阵，而非奇异矩阵线性变换不改变矩阵的秩，故现以下例说明，状态反馈将改变系统的可观性：故得证。FMMc00rankMrankMc即引入状态反馈不改变系统的能控性。xyuxx13103210其能观性判别矩阵为：受控系统的状态方程为：0202130CACN§5－1引言20rankN由于21213)(kkBKACCNk故系统是完全能观的。0令状态反馈矩阵为21kkK闭环系统的能观性判别矩阵为：),,(CBBKAK当时：2232kkK1krankN系统不完全能观，故状态反馈可能改变系统的能观性。定理1得证。§5－1引言证明：由于对任一输出反馈总存在等效的状态反馈，而状态反馈不改变系统的能控性，故输出反馈也不改变系统的能控性。定理2：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。受控系统和输出反馈系统的能观性判别证分别为：H010nCACACN1)()(nBHCACBHCACCNH§5－1引言011)()(FNCACACFBHCACBHCACCNnnH用数学归纳法容易证明其中：ICBHBHBHCACBHBHCACICBHBHBHCACICBHIFn)()()(2§5－1引言由于F为非奇异矩阵，而非奇异矩阵线性变换不改变矩阵的秩，故0rankNrankNH即引入输出反馈不改变系统的能观性。定理1得证。§5－1引言(1)以一组期望的闭环系统极点为性能指标，相应的综和问题称为极点配置问题。4.系统的性能指标(2)以系统渐近稳定为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。(3)以使一个多输入多输出系统实现“一个输入只控制输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。(4)以使系统的输出无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。§5－1引言(1)第一建立可综合的条件，即对于给定的受控系统和期望的性能指标，确定相应控制存在所应满足的条件。5.研究综合问题的基本思路(2)第二建立起相应的用以综合控制规律的算法。§5－2极点配置问题给定n阶线性定常受控系统一.状态反馈的极点配置问题BuAxx确定状态反馈控制，使得所导出的状态反馈闭环系统vKxuBvxBKAx)(}{*n**，，，21的极点为期望值。二.状态反馈极点可配置的条件定理：线性定常系统CxyBuAxx可通过状态反馈任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。vKxu§5－2极点配置问题二.状态反馈极点可配置的条件证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。)(f)]BKA(Idet[*即通过状态反馈必成立ni**n*nn*i*aaa)()(f10111其中由于系统完全能控，故必存在非奇异变换，使系统变换为能控标准I型：)(xTxTCICIxCyuBxAx§5－2极点配置问题二.状态反馈极点可配置的条件其中11011010nCICIaaaATTA1001BTBCI110nCICTC111100110n*n**nCIaaaaaakkkKTK取§5－2极点配置问题二.状态反馈极点可配置的条件于是且，非奇异线性变换不改变系统的特征值，即*n**aaaKBA1101010)()det()])((det(])(det[)det(**0*11*1111faaaKBAsIKTBTATTsITBKATsIBKAsInnnCICICICICICI§5－2极点配置问题二.状态反馈极点可配置的条件由于系统不完全能控，故存在非奇异线性变换阵，对系统进行能控性分解而导出：CIT这说明对于任意给定的期望极点，都可以找到状态反馈矩阵使上式成立，即可任意配置系统的闭环极点。充分性得证。}{*n**，，，211CITKK必要性：已知极点可配置，证明系统完全能控。反证法，已知极点可任意配置，反设系统不完全能控。CCCICIAAAATTA01210CCIBBTB且对任一状态反馈矩阵有2121,kkKTKkkKCI§5－2极点配置问题二.状态反馈极点可配置的条件)det()det()(0)(det)det(])(det[)det(2122212111CCCCCCCCICIAsIKBAsIAsIKBAKBAsIKBAsITBKATsIBKAsI这表明状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，系统不能任意配置全部极点。这与系统可任意配置极点的已知条件矛盾，故反设不成立。即系统是完全能控的，必要性得证。§5－2极点配置问题三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法算法：给定完全能控系统和一组期望的闭环极点.确定状态反馈矩阵K，使成立的算法如下：BuAxx}{*n**，，，211.判断系统的能控性，若系统完全能控则继续下一步。2.计算受控系统矩阵A的特征多项式，即0111asasas)AsIdet(nnn3.计算由期望极点所确定的特征多项式}{*n**，，，21**n*nnni*iasasas)(011114.计算变换为能控标准型后系统的状态反馈矩阵：111100n*n**aaaaaaK§5－2极点配置问题三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法5.计算I型能控标准型变换阵111121321211nnnnCaaaaaaBBABAT6.计算状态反馈矩阵。1CITKK例：受控系统的状态方程如下：uxx139432求状态反馈矩阵K使系统的闭环极点为。212,1j§5－2极点配置问题解：（1）判断系统的可控性系统的能控性秩判矩阵：31932ABBM满秩，系统使完全能控的，可由状态反馈任意系统的闭环极点。（2）原开环系统的特征多项式为：30119432det)(20AIf（3）闭环系统的期望特征多项式为：52))(()(221kf（4）能控标准型变换后的反馈矩阵：925211530*11*00aaaaK§5－2极点配置问题解：（5）I型能控标准型变换阵1143241110113391011aBABTCI2414311811CIT（6）状态反馈增益8.76.5241431)181](925[1CITKK§5－2极点配置问题四.输出反馈的极点配置问题1.利用非动态输出反馈，不能任意地配置系统的全部极点。vHyu以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为，则输出反馈系统的传递函数为:)s(W0)s(HW)s(W)s(Wh001因此，闭环系统的根轨迹方程为:010)s(HW＋当H从0到变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。因此，无论H怎样变化，系统的特征根总是在根轨迹上。即极点不能任意配置。§5－2极点配置问题四.输出反馈的极点配置问题2.如果在引入输出反馈的同时，引入动态补偿器，将可对输出反馈系统的全部极点实现任意配置。§5－3系统镇定问题给定n阶线性定常受控系统一.状态反馈的镇定问题BuAxx确定状态反馈控制，使得所导出的状态反馈闭环系统