第5章应力理论与动力学方程

第5章应力理论与动力学方程451x2x3x现时构形dPbxdsn第5章应力理论与动力学方程§5.1Euler应力张量在有限变形下考虑物体的受力状态，其应力概念如何？怎样计算？怎样体现？在概念方向有何补充？对有限变形的问题，按Euler描述法研究应力的意义：对现时构形，应用截面法sd上的内力dPsd的方向为nEuler应力矢：()0dlimdnssspppn取不同的方向，有不同的应力矢。()pn是现时构形的真实应力。作微小六面体，有三个方向3,2,1k，其应力矢为：pepekkllklklkl：九个分量（独立6个）Euler应力张量：（T），在ei基上的分量为ijTeeklkl任一斜截面上的应力矢：nklklkknn()pep又klklnenT斜截面上应力矢的分量形式：kkllnp——与弹性理论一致。按照Euler描述法与以现时构形写出的边界条件。该边界条件，在小变形中好用，但有有限变形中不好用，现时构形边界未知，看上去是线性的，实际上是非线性的，kn也是未知的。§5.2Euler描述法的运动方程（平衡方程）牛顿定律，应用到现时构形。在现实构形中，任取一部分：体积为v，表面积为S，体积力f，表面力()pn，加速度a，牛顿第二定律：第5章应力理论与动力学方程46ⅢXⅠXⅡX1x2x3xn四面体SⅡSⅢAddpdPSdXNdxHGghOo()ddddddvapfnvSvvvSvt利用散度定理：()dddnkkkkSSvSnSv,ppp则动力学方程为：,apfkk矢量形式的动力学方程或：klklkaf分量形式的力学方程。动量矩定理：可推得：lkkl——剪应力成对性。现时构形的应力描述简单，但现时构形未知，怎么算？若用Lagrange法描述，初始构形中没有应力，怎么办？§5.3Lagrange应力张量Lagrange描述法先略述Euler应力：①应力矢量：()ddppna()pnn为斜截面上总应力②微小四面体平衡：()ppnkknpk为坐标截面上总应力③peklklkl坐标截面上应力分量Euler应力张量。Lagrange描述法：（但GH上没有应力作用，应力怎么定义？）假定在GH上有dPS作用，求名义应力①假定ddSPp名义应力矢量()d/dSPNSA②微小四面体平衡：()NKKNSS③KlKlSSe（KS在Euler坐标上分解，是小写l）第5章应力理论与动力学方程47名义应力张量S，也称为Lagrange应力张量。§5.4Kirchhoff应力张量Lagrange描述法①假定在GH面上作用TddPp，但可用变形梯度来描述，如图。1ddXFx令：T1ddPFp定义应力矢量（GH上）：T()ddPˆTNA②微小四面体平衡()ˆˆTTNKKN③ˆˆTTEKLKL（在Lagrange坐标上投影）伪应力，广义应力张量T，也就是kirchhoff应力张量TdddddSaA~PpP则三种应力之间存在一定的转换关系。§5.5三种应力张量之间的关系Nanson公式：1Td()ddd,aFAkKkKJajXA1KkKkX,FEe又ddSPp则：()()ddNnAaSpddd,SPpKKkkKkKkAaJXA,SpKKkkJX（KAd任意两边可同时消除KAd）又,SepeKlKkklJX（向l方向投影）故：klkKKlJXS,或1JSFTLagrange应力张量与Euler应力张量之关系。T11dddSPFpFP1KKˆTFS（同除以Ad）又KKLLTˆˆTEⅢXⅠXⅡX1x2x3xn四面体SⅡSⅢAddpdXNdxHGghOodTP第5章应力理论与动力学方程48KlKlKLLlSTSeFEe又,FeErMrMxKlKLrMrMLlSTx,ˆeEEeKlKLlLSTx,ˆLagrange应力张量与Kirchhoff应力张量之关系KlKkklKLlLSJXTx,,ˆ张量形：1TˆSFTTFJ或T1TˆTSFFTFJ（右乘-TF）或11TJJˆTFSFTF（左乘1JF）T对称张量由于ˆT与T相似，则ˆT也是对称张量。但S是非对称张量。由此可见，Lagrange应力张量由于其非对称性，研究不方便，最有效的方法是：TddpP引入Kicrchhoff应力张量，就可在Lagrange坐标下研究对称应力张量。提示：应用力学，并非纯数学方法，而是奇妙的力学研究方法。§5.6Lagrange描述法的运动方程（平衡方程）已经定义了各种应力且建立了它们之间的关系。连续介质的运动方程，从现时构形出发，对现时构形采用动量定理，（不是从初始构形出发，初始构形下无任何运动）)ddnvava()fap现时构形上,其中：f单位质点上的力，a：加速度质量守恒：0dd,fvV和a也是定义在质量上的（守恒）。又()()dd(dd)nNSaApSpP()0()ddNvAVAfaS初始构形上()()dSSNSNKKKKANA故：0()dd,faSKKVVVV（散度定理）0()0,SfaKKLagrange描述法的运动方程，（现时构形运动方程，用初始构形的量来描述）写成分量形式，为：0()0,KlKllSfa第5章应力理论与动力学方程49用Kirchhoff应力表示：LlKLKlxTS,ˆ则0)()ˆ(0,,llKLlKLafxT注：KlS不对称，KLTˆ对称，但第二式比第一式麻烦得多，项数多，且Llx,并不知道，所以，仍只用前面的式来描述Lagrange标架下的运动方程。§5.7各种应力增率之间的关系非线性问题，数值解法，增量步，增量型方程，速率型（除以t）各应力之间的关系：1TˆSFTTFJ各种应力增率之间的关系：TTTTT1(),ˆˆˆˆSTFTFTFTFGSFTGTTppJv（*）推导（*）式：1111111()()()()JJJJJJJSFTFTFTFTFTFGTFT又,,dd()ddkKkKxJJJtxt且KkxJ,是行列式||,Llx关于Kkx,项的代数余子式。kKkKLlKkJXXxxJ,,,,||则,,,()KkkKkkJJXvJv代入后，（*）式得证。同样可得：TT1TT()(),ˆTSSGFˆTFTSTTGTFppJv§5.8应力增率运动方程（平衡方程）第5章应力理论与动力学方程50ⅢXⅠXⅡX1x2x3xt时刻0tffaaTTtttbttbfaB1x3x2x转动重划单元体3x2xTT3x2x增量型运动方程，速率型运动方程。用Lagrange描述法：t时刻（tb）运动方程：0()0,SfaKKtt时刻)(tbt运动方程：0()()0,SSffaaKKK两式相减后，有：0()0,SfaKK——增量型平衡方程两边除以t，并令0t，有0()0,SfaKKkk——速率型平衡方程分量形式：0()0KkKkkSfa,——Lagrange应力增率运动方程0()()0KLlLKLlLKllTxTvfa,,,ˆˆ——Kirchhoff应力增率运动方程§5.9与刚体旋转无关的应力增率欧拉应力增率T真应力应力应变关系：用真应力T用速率型但用T会出问题如图所示，单元体上T321,,xxx现时坐标系（空间坐标系）321,,xxx随体坐标系第5章应力理论与动力学方程51设单元体作刚体运动，（刚体转动）单元体上的应力分量不变。若按随体坐标系，T不变若仍按现时坐标系取单元体，则：TT为转动后的应力张量。则：klklmnkmlnQQ坐标变换张量Q和旋转张量Ω之间有关系：tQkmkmkm则：()()klklmnkmkmlnlnklknlnmlkmtttt从数值上说，上面的“一”可去掉，并两边除以t，且取极值0t，有：0limklklknlnkmmltt即：即使只发生刚体转动，0T，利用作应力应变关系时，应考虑这问题。TTTΩΩTΩTTΩ（Ω为反对称张量）欧拉应力的物质导数与刚体旋转的旋率有关。按材料应力应变关系来说，应力—应变，应力增量—应变速度要一一对应。如何解决这个问题。为了解决这个问题，连续介质力学认为：在本构方程中不宜采用T，建议采用Janmann应力速度张量：TJ（要求他与旋率无关）。令TTΩTTΩJ它与刚体旋转的速率无关。11(()()JppJppJvJv,,TFTDTTDTSFTTΩDTT