第5章杆件的变形与刚度计算C.

第5章杆件的变形与刚度计算§5-1轴向拉压杆的变形§5-2圆轴扭转变形及刚度计算§5-3梁的弯曲变形及刚度计算§5-4简单超静定问题1§5-1轴向拉压杆的变形一、线应变PP1llb1blll1bbb1llbb纵向线应变：横向线应变：形系数)称为泊松比或横向变(材料在线弹性范围内：||2二、拉压杆的变形材料在线弹性范围内：EllAFNAElFlN等截面杆：多段等截面杆：变截面杆：iiiiNAElFldxxAExFlNl三、典型例题§5-1轴向拉压杆的变形EA：称为截面抗拉压刚度。（轴力）有正负iNF3FFFFFFNNN2,,332131iiiiNADEAlFl1.分段求轴力(或作轴力图)2.求变形11A,lAB2F4F3FCD22A,l33A,lBDACADl,l,l例题5-1-1：变截面杆，材料相同E，不计自重,求。113EAFl21iiiiNACEAlFl22113EAFlEAFl32iiiiNBDEAlFl33222EAFlEAFl§5-1轴向拉压杆的变形解：22EAFl332EAFl4例题5-1-2：等截面石柱，E、A、容重求B截面相对于A截面的变形量。xAxFN)(lNABdxEAxFl0lxdxE0El22lxABx)(xFN1.求轴力2.求ABl§5-1轴向拉压杆的变形解：5C'怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量△Li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。ABCL1L2P1L2LC§5-1轴向拉压杆的变形6写出图中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBxByB'1LBx变形图如图，B点位移至B'点，由图知：sinctg21LLBy§5-1轴向拉压杆的变形7解：§5-1轴向拉压杆的变形060sin6.12.18.060sinoToTAFFFmkN55.113/FFTMPa1511036.7655.119AFT例5-1-3设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设F=20kN，试求钢索的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCFAB60°60°FABCDFTFTFAyFAx解：1）求钢索内力：以ABCD为对象8§5-1轴向拉压杆的变形mm36.1m17736.766.155.11EALFLTCFAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'1L2LCC3）变形图如左图,C点的垂直位移为：260sin60sin221LLDDBBCmm79.060sin236.160sin2oL9§5-2圆轴扭转变形及刚度计算一、圆轴扭转变形（相对扭转角）pGITdxdldlpdxGIT0pGIlT称为截面抗扭刚度:pGI等直圆轴：pGIlT多段等直圆轴：piiiGIlT变截面圆轴：dxxGIxTplmmAB10)(m/radGITpmaxmax)(180m/GITopmaxmax二、刚度条件及计算1.刚度条件2.三种刚度计算：§5-2圆轴扭转变形及刚度计算刚度校核、截面设计、许可载荷的确定。最大单位长度扭转角:max11例题5-2-1有一直径d=25mm的钢轴，当扭转角为60时最大切应力为95Mpa，试确定此轴的长度。已知材料的剪切弹性模量G=79Gpa。pGITLppITRITmaxmax180maxGRL180695252110793(mm)1089解：180§5-2圆轴扭转变形及刚度计算12例题5-2-2：试选择图示传动轴的直径。已知：n=300rpm，P1=20PS，P2=50PS，P3=30PS，[]=40Mpa，=0.30/m，G=80Gpa。1.求外力偶矩并作扭矩图m)(N468300207024P702411nmm)(N1170300507024P702422nmm)(N702300307024P702433nmmN468mN702m2m2213解：][m)(N702maxT§5-2圆轴扭转变形及刚度计算13mN468mN702163dW,WTppmaxmax316maxTdmm74440107021633.321804dI,GITppmax4max18032GTdmm36430108018010702324323..mm65d2.根据强度条件确定直径3.根据刚度条件确定直径§5-2圆轴扭转变形及刚度计算14作业：P543；P558；P5612思考：P544；P5613；P571415§5-3梁的弯曲变形及刚度计算一、梁的弯曲变形（挠度与转角）)x(qABmPwwxtanwxv,y,f,w挠度转角挠曲线挠曲线方程、转角方程、挠度与转角的关系：顺时针为正向下为正；逆时针为正向上为正：：xxww16二、梁的挠曲线近似微分方程EIxM)(1：物理关系232)1(1ww：几何关系EIxMw)(1.挠曲线近似微分方程w：挠曲线近似微分方程M0Mxww″0M0Mxww″0§5-3梁的弯曲变形及刚度计算17支承条件：00AA,w00DCw,w连续条件：梁在变形后，其挠曲线是一条连续的曲线右左右左HHHH,ww注意分段：除集中力、集中力偶、分布载荷的始末位置外，还有中间铰（挠度连续、转角不连续）处。2.二次积分求挠度方程CdxEIxMw)(DCxdxdxEIxMw)(通过边界条件确定积分常数(悬臂梁)(简支梁)BACDFHF§5-3梁的弯曲变形及刚度计算18例题9-3-1：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线方程和转角方程。AD段：xlFbxM1BAxwFDablxFBFA1）分段求弯矩方程DB段：axFxlFbxM2解：§9-3梁的弯曲变形及刚度计算）（ax0）（lxa19xMwEI222）梁的挠曲线方程xMwEI11xlbFaxFxlbFAD段：DB段：3）积分AD段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw§9-3梁的弯曲变形及刚度计算20AD段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw4）确定积分常数位移边界条件：01w0x时，a)01DBAxwFDabl§9-3梁的弯曲变形及刚度计算02wlx时，b)0662233DlCalFllFb21位移连续条件：21wwax时，a)2231366DaCalFbaCalFb221DaCaCAD段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIwBAxwFDabl§9-3梁的弯曲变形及刚度计算22''21wwax时，b)221222CalFbCalFb21CCAD段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIwBAxwFDabl§9-3梁的弯曲变形及刚度计算2301D221DaCaC21CC0662233DlCalFllFb解得：22216bllFbCC021DD§9-3梁的弯曲变形及刚度计算2422211312xbllEIFbwAD段：22216xbllEIFbxwDB段：222222312xblaxbllEIFbw322326xxblaxbllEIFbw§9-3梁的弯曲变形及刚度计算如何确定最大挠度和最大转角？）（ax0）（lxa25已知梁的为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值为多少？lm2xm1xl/3EImm12/§9-3梁的弯曲变形及刚度计算26三、叠加法求梁的挠度和转角1.叠加法的理论依据：材料在线弹性范围内工作；发生的变形是小变形。2.掌握6种基本图形，求梁的最大挠度和最大转角。(表9-4)载荷状况梁端转角中间挠度mLEI31mLEI162PLEI162PLEI483qLEI243q5LEI3844mPq载荷状况最大转角最大挠度mLEI11mLEI22PLEI22PLEI33qLEI63qLEI84mPq§5-3梁的弯曲变形及刚度计算载荷状况最大转角最大挠度mLEI11mLEI22PLEI22PLEI33qLEI63qLEI84mPq27例题5-3-2求图示悬臂梁O处的挠度和转角。oxwLEIPoxwLEIPPLMoxwLEIPLM，EIPLO2211.P单独作用2.M单独作用EIPLwO331EIPLEIMLO22EIPLEIMLwO22321逆时针EIPLOOO2221EIPL由叠加原理有：逆时针为正向上为正w解：§5-3梁的弯曲变形及刚度计算28例题5-3-3试按叠加原理求图示悬臂梁C处的挠度和转角。C111l,IE222l,IEFABCBFF2FlMBCA1C1Cw2B2Cw2C2Bw逐段刚化法1.刚化AB段，考虑BC段的变形2.刚化BC段，考虑AB段的变形顺时针222212IEFlC223213IEFlwC22BC2222lwwBBC解：211211112111312)2(23lIEllFlIEMlIEFl1122111221113123IElFlIElFlIEFl§5-3梁的弯曲变形及刚度计算顺时针112112)2(IEllFl22IE11IE11111212IEMlIEFl29顺时针11211222221222IE)ll(FlIEFlCCC由叠加原理有：用逐段刚化法时，每段的变形必须且需考虑一次。§5-3梁的弯曲变形及刚度计算2232213IEFl1122111221113123IElFlIElFlIEFl30例题5-3-4试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其B截面的转角，以及A端的挠度和BC段中点D的挠度。§5-3梁的弯曲变形及刚度计算31用逐段刚化法求解。1.刚化AB段，考虑BC段的变形，计算图(c)BBMBqB1BDMDqD1a||wBA11§5-3梁的弯曲变形及刚度计算解：1qa2=313224233逆时针EIqaEIaMEIaqB)(24116223845424EIqaEIaMEIaqBEIqaaEIqa433131322.刚化BC段，考虑AB段的变形,计算简图(b)02B02DwEIqaEIaqwA4424182逆时针EIqlBBB33