第6章代数方程与差分方程模型

6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.4市场经济中的蛛网模型6.5减肥计划——节食与运动6.6按年龄分组的人口模型第六章代数方程与差分方程模型6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.后来公布爆炸实际释放的能量为21×103tt(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲221rmmkf加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动)1(321glmt321][][][][glmtlmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量2/12/10321glt(1)的量纲表达式2ltg与对比33212TLMT120033210002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中t,m,l,g的一般表达式0),,,(glmtf020041243yyyyy21tlg)/(glt3124yyyytmlgy1~y4为待定常数,为无量纲量()0FT(2,0,1,1)T1234(,,,)yyyyy基本解设f(q1,q2,,qm)=0mjXqniaijij,,2,1,][1ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定.定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm的量纲可表为,}{mnijaA量纲矩阵记作RankAr若线性齐次方程组0Ay有m-r个基本解，记作mjyjssjq1为m-r个相互独立的无量纲量,且则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLA[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力fmjXqniaijij,,2,1,][1航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=30),,,,,(fsvlg0),,,(21mqqqfTTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321flgslvlg13132221211,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量0),,,(21mqqqf0),,,,,(fsvlgF(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价flgslvlg13132221211为得到阻力f的显式表达式F=0),(213未定mjyjssjq1F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价221213,),,(lsglvglf记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻t球的半径为rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T21322][;][;][;][;][MTLPMLMTLETtLr),,,(PEtr原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模r与哪些因素有关？rtEρP20210111001320153ALMT量纲矩阵0),,,,(PEtrfy=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模Rank3A5/125/15/15/21EtrErt5/132565/35/25/62EPtPEt0),(21F5/132565/12EPtEtrT123450,(,,,,)Ayyyyyyy有2个基本解5/132565/12EPtEtr两个无量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算5/132565/12EPtEtr时间t非常短能量E非常大)0(5/13256EPt泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议1)0(5/12Etr用r,t的实际数据做平均空气密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J25trEE=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)实际值21×103t泰勒的计算5/12Etrtr最小二乘法拟合r=atbEtr101010log51log52logE=8.0276×1013(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038Ectrycy101010log21,loglog25,模型检验b=0.4058~2/5量纲分析法的评注•物理量的选取•基本量纲的选取•基本解的构造•结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.•方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.6.4市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象•商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?•当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求•描述商品数量与价格的变化规律.商品数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxyOxk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0)(1kkyhx)(1kkxgy供应函数xyOfgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点gfKKxyOy0x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkkgfKK曲线斜率蛛网模型0321PPPP)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.1经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直]2/)[(0101yyyxxkkk模型的推广•生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.)(00xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22,1012)1(22xxxxkkk方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根022平衡点稳定，即k,xkx0的条件:12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了!122,1模型的推广6.5减肥计划——节食与运动背景•多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.•通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析•体重变化由体内能量守恒破坏引起.•饮食（吸收热量）引起体重增加.•代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.•体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25~正常；BMI25~超重;BMI30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000kcal增加体重1kg；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每千克体重消耗200~320kcal(因人而异),相当于70kg的人每天消耗2000~3200kcal；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不要小于10000kcal.某甲体重100kg，目前每周吸收20000kcal热量，体重维持不变.现欲减肥至75kg.第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标.2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案.)()1()()1(kwkckw