第6章数值积分.

第六章数值积分引言数值积分是数值分析的重要内容，也是函数插值的直接应用。在工程计算中，由于许多函数的不定积分无法用简单函数解析地表达出来，甚至被积函数本身都无法详尽地描述，而只能以简单的表格形式给出一些离散点上的函数值,或者定义为某个无法用显示形式表达的微分方程的解。在上述这些情况下，我们只能用数值方法求函数的定积分。2210sinsind,d,ed,elnlnbbxxaaxxxxxxxxx11由于、和的原函例如，在土地丈量中会遇到各种各样不规则地块，由于我们无法知道其边缘曲线满足何种函数关系，因此计算它的面积存在一定的困难。又如，求定积分数不能用初等函数解析地表示出来，因此这些定积分都不能用Newton-Leibniz公式求出，只能用数值方法求其近似值。数值求积公式的一般形式为0()()nbkkakfxxfxd(6.1.1)(0,1,,)kxkn式中的称求积结点为，并且有01naxxxb(0,1,,)()kknfx求积系数称为，且与被积函数无关。(6.1.1)数值求积公式通常简称为求积公式。当求积结点和求积系数确定之后，一个求积公式就被确定了。称0()()()(6.1.2)nbnkkakRffxdxfx(6.1.1)截断误为求差积公式的或余项。§6.1求积公式及其代数精度代数精度的概念,m　如果存在正整数定义使得则称求积公式(6.1.1)m具有次代数精度。截断误差公式往往与被积函数及其导数信息有关，因而无法直接用来衡量求积公式本身的好坏。通常我们用求积公式的代数精度来说明求积公式的好坏。1()0,0,1,2,,,()0(6.1.3)kmnnRxkmRxm容易看出，若求积公式具有次代数精度，则对任何次()()0,nmpxRp数不高于的多项式函数均有从这种意义上讲，代数精度越高，求积公式对积分结果的逼近越好。代数精度这个概念只是定性地描述一个注意：求积公式的精度高低，并不能定量地表示求积公式的误差大小。例1判断以下两个求积公式的代数精度11(1)()d(1)2(0)(1)fxxfff12111(2)())()3fxxff1d(-3(1)解12-1(1)11211=22=0Rdx1-212-1()d1201=00=0Rxxx1-2122222-12()d(1)201=103Rxxx1-211()d(1)2(0)(1)fxxfff121只具有次代数精度。求积公式11-1(1)111=22=0Rdx-11-1()d=00=0Rxxx11-33221221-122()d==033Rxxx11-33(2)331331-1()d=00=0Rxxx11-33441441-122()d=059Rxxx11-33111())()3fxxff1公式d(-具有三次代数精度。3求积公式的构造方法数值积分的基本问题针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积公式(6.1.1)具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。寻找被积函数f(x)在区间[a,b]上的一个容易求积的近似函数(如某个多项式)p(x)，然后用p(x)在区间[a,b]上的积分值去近似f(x)在区间[a,b]上的积分值。最常用的近似函数p(x)是f(x)在区间[a,b]上插值多项式函数。§6.2插值型求积公式及其代数精度,(0,1,,),kabxkn在区间内选定求积结点满足01naxxxb，以所给求积结点为插值结点，构造插值多项式0()()(),nnkkkpxlxfx0()(0,1,,)Lagrangenikikiikxxlxknxx其中是插值基函数，()(),npxfxab用近似代替在区间上作定积分，得方法：()0()d()nbnkkakfxxfx(6.2.1)()()d,0,1,bnkkalxxkn(6.2.1)插值型求称公式为积公式。其中(6.2.2)(),Lagrangefxabn若函数在区间上具有+1阶导数，则由(1)00()()()()()(1)!nnnkkjjkffxlxfxxxn=()(,)xab其中。(6.2.1)所以插值型求积公式的截断误差(1)()00()()d()()d(1)!nnnbbnnkkjaajkfRfxxfxxxxn()(,)xab其中。(6.2.3)截断误差估计插值公式及其余项表达式，我们有0113,,44xx给定求积结点试推出计算积分10()dfxx的插值型求积公式，并写出它的截断误差。(6.2.2)由公式计算解求积系数111(1)1000000111(x)d=d(43)d22xxlxxxxxx111(1)0110001011(x)dd(41)d22xxlxxxxxx故求积公式为例210113()d()()244fxxff110113()()()d()(0,1)244Rfxxxx。截断误差插值型求积公式的代数精度+11nn个结点的插值型求积公式至少具有定理次代数精度。1n对于个结点的插值型求积公推论式的求积系数()(0,1,,),nkkn必满足()0nnkkbaab其中和分别是积分下限和上限。12nnn个结点的求积定理公式如果具有次或大于次的代数精度，则它是插值型求积公式。(6.2.1)若在公式中取等距结点,0,1,,,kxakhkn(6.2.1)则相应的插值型求积公式变为Newton-Cotes(6.3.1)求积式称为，相公式应的求积系数()Newton-Cot((6.2e.s2))nk由式确定称为求积系数。§6.3Newton-Cotes求积公式()0()()nbnkakbafxxfaknd(6.3.1)(1)0()[()]d(1)!nnbnjajfRxxxn2(1)00=()[()]d(1)!nnnnjhftjtn(6.3.2)()(,)athab其中。bahn，截断误差为Cotes系数()()nkbac(6.3.3)其中()00(1)()d,!()!nknnnkjjkctjtknkn(6.3.4)()Cote()snkcknfx称为，它只与和有关，与被积函数系数以,ab及积分区间都无关。,(6.2.2)xath令由式得()()dbnkkalxx00(1)(-)d!()!nknnjjkhtjtknk00dnnjjktjhtkj0dnbjajkjjkxxxxx0,1,,kn0,1,,kn表6-1()1112214126661331388887162167490451545901925252525195288961441449628841993499416840352801052803584075135771323298913233577750717280172801728017280172801728017280989588892810496828350283502835028nknc454401049692858889893502835028350283502835028350Newton-Cotes求积公式的代数精度1Newton-Cotes3nn当为偶数时，个结点的定理公式的1n代数精度至少是。11Newton-Cotesn由定理可知，个结点的求证积公式至nn少具有次代数精度。所以，只须证明当为偶数时，对(1)()(1)!(6.3.2),nfxn由及公式得20(1)()dnnnRhtttnt()2ntu令1(),()0nnnfxxRRf有。2222222(1)(4)()d04nnnnhuuuuu证毕。222()(1)(1)(1)(1)()d2222nnnnnnnhuuuuuuuu1Newton-Cotesn的求积公式()d[()()]2babafxxfafb(6.3.5)称为梯形公式。梯形公式：()fxabxyO的截断误差31()(),(,)12baRfab(6.3.6)()[,]fxab若在区间上有二阶连续导数。则梯形公式1推论1而其代数精度为。-()[()4()()]62babaabfxxfaffbd(6.3.7)Simpson()称为辛普生公Simpson公式：2Newton-Cotesn的求积公式5(4)2()()(,)(6.3.8)2880baRfab且具有三次代数精度。公式的截断误差()[,]Simpsonfxab若在区间上有四阶连续导数。则2推论式，又叫抛物线公式。Oxy()fxab2ab2()px=3Newton-Cotesn的求积公式-22()d[()3()3()()]833babaababfxxfafffb(4)Simpson3/8()[,]fxab称为公式。如果在上连续，则此求积公式的截断误差为5(4)3(-)-()6480baRf(,)abSimpson3/8公式：=4Newton-Cotesn的求积公式3()[7()32()12()42baababfxxfaffb-ad90332()7()]4abffb(6)Cotes()[,]fxab称为求积公式。如果在上连续，则此积公式的截断误差为7(6)4(-)-(),(,)1935360baRfabCotes公式例3Si3mpson试分别使用梯形公式和公例式计算积分121edxx的近似值，并估计截断误差。用梯解形公式计算1122121ed(ee)2.18352xx134121221max()maxe=(1)8.1548xxxfxfxx梯形公式的截断误差估计为3112(2-1)max()0.679612xRfxSimpson用公式计算。11121.52121ed(e4ee)2.02636xx1(4)876512121123624max()=maxexxxfxxxxx截断误差估计为5(4)212(2-1)max()0.068902880xRfx=198.43()0()(),()()nbnnkakbaIffxdxIffakn记()(0,1,,)Newton-Cotesnkkn其中是求积系数。今考[,]()abfx察是否对任何在上可积的函数都有lim()()nnIfIf(6.6)这是求积公式的收敛性问题。21(),[,][4,4],1fxabx先看一个例子，此时有()2arctg42.6516,()nIfIf的一些计算方程见下表§6.4Newton-Cotes求积公式的收敛性数值稳定性246810()5.49022.27763.32881.94113.5956nnIf()()nnIfIf从上表可看出，当时，不收敛于。这个例Newton-Cotes子说明，求积公式并不是对所有在区间,ab[]上可积的函数都收敛。()()()kkkkfxfxfx设计算时有舍入误差(0,1,,),()()knknkIf并设对任何有常数，则计算k时，由引起的积累误差为()0()()nnnnnkkkIfIfnn今考察当时，是否有界，这是求积公式(6.6)的数值稳定性问题。由()()00nnnnnkk