第6章点的运动学.

1一、运动学任务1.点和刚体运动的描述(运动方程);2.点的运动特征量(轨迹,速度和加速度);3.刚体运动特征量(角速度和角加速度)。二、明确两个基本概念1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言；2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。三、难点和重点1.点的合成运动；2.刚体的平面运动。4本章重点、难点重点难点点的运动方程的建立自然坐标轴系的概念速度和加速度的计算方法速度与加速度在自然轴上投影的推导§6–1基本概念§6–2矢量法§6–3直角坐标法§6–4自然法6①建立机械运动的描述方法②建立运动量之间的关系2.运动学的研究内容1.研究对象研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。包括研究物体运动的轨迹、速度、加速度等而不考虑引起物体运动的物理原因。§6–1运动学的基本概念一、运动学二、参考体(物)、参考系、固定参考系(静系)与动系1.参考体:由于物体在空间的位置只能相对地被描述，故要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不变形的物体作为参考体。2.参考坐标系:固连于参考体上的一组任选的参考坐标系（简称参考系）。若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标系来说,物体静止；反之运动。3.固定坐标系:一般将固连于地球上的坐标系称为固定参考坐标系,通常也称为静坐标系。4.动系:将固连于运动物体上的坐标系称为动系。六、运动分类直线运动，曲线运动四、瞬时、时间间隔t)(12)(ttt瞬时：对应于某一事件发生或终止的时间。时间间隔:两个瞬时之间的时间数。五、轨迹点在空间运动所经过的路线。三、点与刚体点：没有大小的几何点。刚体：在任何情况下保持其形状和大小不变的物体。七、决定点的运动的基本方法·点的运动方程决定点的运动,就是确定动点在参考系中每一瞬时的位置。并由此求点的速度和加速度。基本方法:（1）自然坐标法；（2）直角坐标法；（3）矢径法。1、自然坐标法(1)点的运动轨迹为已知(2)确定点的位置的需要M(3)点M在曲线上位置的描述O’b.规定O’一端的轨迹的弧线为正，另一端为负(+)(-)c.s为代数量，就是M点的弧坐标或自然坐标sa.在轨迹上任选一点O’为起点a.点的运动轨迹曲线。b.点任意瞬时在曲线上的位置。(4)点的运动方程M点沿轨迹运动时，s随时间而变，可用时间t的连续函数来表示：s=s(t)即为点的自然坐标运动方程。这种用点的轨迹和自然坐标来研究点的运动的方法，称为自然法，也称为弧坐标法。已知动点M的运动轨迹为曲线建立直角坐标系oxyz，Mzxyoxyz2、直角坐标法此即M点的直角坐标运动方程M点在空间的任一瞬时的位置由x、y、z来确定，其运动方程为:)()()(321tfztfytfx直角坐标运动方程一般含时间t，而轨迹方程通常通过消去运动方程中的时间t得到。3、矢径法动点M的运动轨迹如图任选一点O作原点r=r(t)此即点的矢径运动方程，矢径端点绘出的矢端曲线就是动点的运动轨迹。OrMrMrMMr由O点向动点M作矢量rr称为动点M的矢径它的大小和方向可惟一地确定动点的位置。当动点运动时，则矢径的大小及方向均随时间而变。动点的运动方程为§6-2速度与加速度的矢径表示方法1、运动方程动点的运动方程为r=r(t)O。r(t)MvM’2、速度若点运动位置为r=r(t)则速度就可用矢径对于时间之变化率来表示t:Mt+t:M'当t0)()(trttrrMM*rvt平均速度(矢径对时间的平均变化率)动点的瞬时速度00*limlimttrdrvvtdt单位:m/s,cm/s,km/h.3、加速度动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。速度对于时间的变化率平均加速度*vatt:vt+t:vM’Mvaavvv瞬时加速度220limxvdvdratdtdt单位:m/s2,cm/s2。矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线动点M的矢径为r，直角坐标为x,y,z，且设单位向量为i,j,k。zxyOMyxzrijk§6-3速度与加速度的直角坐标法1、运动方程r=xi+yj+zk直角坐标与矢径坐标之间的关系()()()xxtyytzzt()()()rtxtiytjztkddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkvivjvktttt2、速度速度投影为：速度大小及方向余弦为：vvvvvvvvvvzyxzyx/cos,/cos,/cos22222yyvyattdddd22zzvzattdddd22xxvxattdddd3、加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijkaiajaktttt例6-1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,,OCACBClMCat：。已知求：①M点的运动方程；②轨迹；解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程()cos()cosxOCCMlatsin()sinyAMlat消去t,得轨迹22221(()xylala）,,OCACBClMCat。例6-2已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为，其中为t=0时的夹角，为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。tA，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBB点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx周期运动()xtTxt1fT频率解：例6-3如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度。（为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为。求活塞的运动规律。akvv0vddvakvt00ddvtvvktv00ln,ktvktvvev0ddktxvvet由tevxktxxtdd000得ktekvxx100【解】例6-4已知点的运动方程cos;sin;2txrtyrtzh求∶点的运动轨迹，点的速度，点的加速度。xyzO【解】∶运动分析xyr222所以，动点M在半径为r的圆柱面上运动。t=0,x=r,y=z=0。t增加,y和z增加，x减小。然后回到母线上，转一周，增加hsincos2xyzvrtvrtvh22221)2xyzhvvvvrr（22)2(cosrhhvvz加速度请同学自己分析。xyOz由advdtqxyzartxartyaqqxyz,,,cossin22220raai22M′Mva加速度的大小为加速度的矢径表示为a=axi+ayj+azk=-ω2xi-ω2yj=-ω2(xi+yj)=-ω2rxyOACBl例6-5曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。222cossinxOCCBrlr221cossinrxrtltl滑块B的运动方程：将φ=ωt代入上式得xyOACBl【解】滑块B的速度和加速度为22sin2sin21(sin)rtvxrtrltl2222222322cos{4cos2[1(sin)]sin2}4[1(sin)]avrtrrrtttllrltl例6-6图示卷杨机构，绳OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒A的速度与加速度，表成x的函数。AOBlxvB【解】：A作直线运动，222xABl两端对时间求导：220()BxxABv22()BBABvvxxlxx?x同学们自己求。一、曲率的概念夹角可以表示弧长s内的弯曲程度，可见MM’弧的弯曲程度或平均曲率可表示为：§6-4自然坐标法et’et’O’(+)MM’sset当M’趋向于M时，平均曲率的极限即为曲线在M点的曲率，可表示为：其倒数为曲线在M点的曲率半径，即：s*ss0lims0lim1二、自然坐标轴系M与M’点的切线单位向量et和et’确定一个平面，当M’点向M点接近时，平面绕M点的切线单位向量转动。O(+)Msset’etet’et’et’et’M’当M’到达M点极限位置时，M与M’点的切线单位向量确定的平面称为密切面，在M点附近无限小的一段弧线在密切面内发生弯曲，因此密切面又称为曲率平面。平面曲线所在的平面就是密切面。(1)密切面：过M点做与切线et垂直的平面称为M点的法(平)面,法面内的所有直线都垂直于M点的切线；密切面与法面的交线叫主法线，与主法线垂直的法线叫副法线。M主法线ebetenet、en、eb构成自然坐标轴系。O’(-)(+)sMrOsM’rr’1、速度v动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，其方向沿着轨迹的切线方向。et三、速度与加速度的自然坐标表示法vdrdtdrdtdrdsdsdtdsdslim0sdrdsrsetvtlim0dsdtstv=vet=dsdtet结论：因此，22dtsddtdv由△MAB知,2sin12tedvdtd(vet)dta=dvdtdetdtetv是切线单位矢量的导数是速度的改变值=△et△tdetdttlim0vtssttdtdtsttttlimlimlim0000ee2、加速度=detdtnve∴整理得，M'MMBAet’et’et△et△ta=dvdtv2ρeten(7-14)几点说明:(1)加速度矢量a由两个分矢量组成，其中(2)加速度在自然坐标轴系上的投影at=dvdtet为切向加速度，沿轨迹切线方向，表明速度大小随时间的变化率；an=v2ρen为法向加速度，沿主法线方向，表明速度方向随时间的变化率。at=dvdtan=v2ρab=0Metenebatan(3)加速度的大小及其与主法线之间的角度ntntaavdtdvaaaarctan22222(4)几种特殊情况I直线运动0na,II匀速曲线运动constdtdsvdttavvdtds，dtdsvtttss0000则有由III匀变速曲线运动tavvdtadvdtadvdtdvatttvvtt00const0)ss(avvt0202220021tatvsstat=dvdteta=an=v2ρena=运动方程为vtss0消去时间t后,则有例6-7列车在曲线半径R=300m的轨道上作匀变速运动，轨道的曲线部分长度l=200m；当列车开始走上曲线部分和离开曲线部分时的速度分别为v0=30km/h和v1=48km/h。求列车走上及离开曲线轨道时的加速度？解∶lavvt220212222021m/s271020023403252.//lvvat'aa.vaantt2949arctanm/s356000222020列车作匀变速运动，切向加速度为常数列车进入曲线时的加速度为：用同样的方法可得列车离开曲线时的加速度大小为.652m/s2,与主法线的夹角为24°34’。■解：由点M的运动方程，得txatxvxx4sin32,4cos8tyatyvyy4cos32,4sin84,0zzvzaz222222280ms,32msx