第6讲万有引力定律和天体运动

2019/12/182019/12/181.基本方法把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．一、万有引力定律的应用2019/12/182．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2.(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F引＝F向一般有以下几种表述形式：①G＝m②G＝mω2r③G＝mr2019/12/183．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于G＝mg，故天体质量M＝天体密度ρ＝2019/12/18(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝2019/12/18③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度．2019/12/18不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝G从而得出GM＝gR2(通常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．2019/12/18(2009·全国卷Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度为()A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m32019/12/18首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，可求出地球的质量，然后根据ρ=可求得该行星的密度.2019/12/18解析：设该星球和地球的质量、半径、体积分别是M1和M2、R1和R2、V1和V2，则该星球的平均密度为：ρ1＝地球的平均密度为ρ2＝所以2019/12/18对于近地卫星有又ρ2＝所以ρ2＝故ρ1＝＝kg/m3≈2.9×104kg/m3.[答案]D2019/12/18[名师归纳]天体质量的几种计算方法：(设中心天体质量为M，环绕天体质量为m)(1)若已知环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据.(2)若已知环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据.(3)若已知环绕天体运动的线速度v和周期T，根据.2019/12/181.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律(1)向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F＝再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小．(2)线速度v：由得v＝随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小．2019/12/18(3)角速度ω：由＝mω2r得ω＝随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．(4)周期：由得T＝2π随着轨道半径的增加，卫星的周期增大．2019/12/182．卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)圆轨道上的稳定运行：若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即＝mrω2＝mr()2.2019/12/18(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．①当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．2019/12/18②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．2019/12/18(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．(2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝判断．2019/12/18(12分)土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104km和rB＝1.2×105km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比．(2)求岩石颗粒A和B的周期之比．(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×105km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？2019/12/18根据万有引力提供向心力，向心力公式选择涉及线速度、周期的公式求比可得(1)、(2)两问.根据万有引力公式及万有引力和重力的关系可得(3)问.2019/12/18解析：岩石颗粒绕土星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和万有引力定律得(1)所以v＝(2分)则岩石颗粒A和B的线速度之比为vA∶vB＝(2分)2019/12/18(2)所以T＝(2分)则岩石颗粒A和B的周期之比为TA∶TB＝(2分)2019/12/18(3)F万＝＝G重(2分)由题意可得：10＝0．38＝解得＝95(2分)即土星质量是地球质量的95倍．[答案](1)(3)95倍2019/12/18[名师归纳]物体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的制约关系．例如，只有当角速度不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比，使用时不能脱离限制条件．2019/12/181．(2009·安徽高考)2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是()2019/12/18A．甲的运行周期一定比乙的长B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的加速度一定比乙的大2019/12/18解析：万有引力提供碎片做圆周运动的向心力，＝M解得v＝因为甲的速率较大，所以甲的轨道半径较小，B错误．根据周期公式T＝＝2π可知，甲的运动周期较小，所以A错误．根据加速度公式a＝可知甲的加速度较大，所以D正确．因甲、乙碎片质量未知，不能确定甲、乙向心力的大小关系，所以C错误．答案：D2019/12/181.卫星的超重与失重卫星发射过程中，卫星上的物体处于超重状态，卫星进入轨道后正常运转时，卫星具有的加速度等于轨道处的重力加速度g轨，卫星上的物体完全失重．返回时，由于空气、降落伞或沿向地面方向喷气，卫星上的物体处于超重状态．2019/12/182．卫星的能量轨道半径越大，速度越小，动能越小，但重力势能越大，且总机械能也越大，也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大．2019/12/183．卫星变轨问题人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或者离心运动，发生变轨．在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道．2019/12/184．同步卫星同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通讯卫星．同步卫星有以下几个特点：(1)周期一定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T＝24h.(2)角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．2019/12/18(3)轨道一定：①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．②由于所有同步卫星的周期相同，由r＝知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6×104km.(4)运行速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08km/s，运行方向与地球自转相同．2019/12/185．几种卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如定位卫星系统中的卫星轨道．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．一切卫星的轨道的圆心与地心重合．2019/12/18据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是()A．运行速度大于7.9km/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等2019/12/18解答此题应把握以下三点：(1)注意“同步”的含义.(2)灵活运用关系式=mrω2分析.(3)灵活选取匀速圆周运动的公式进行分析.2019/12/18[解题指导]由万有引力提供向心力得：v＝即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v＝7.9km/s为第一宇宙速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9km/s，故A错；2019/12/18因同步卫星与地球自转同步，即T、ω相同，因此其相对地面静止，由公式＝m(R＋h)ω2得：h＝－R，因G、M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故B对；因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝30天，即T同＜T月，由公式ω＝得，ω同＞ω月，故C对；2019/12/18同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向＝rω2，可得：因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误．[答案]BC2019/12/18[名师归纳]由“同步”的含义明确周期，再根据万有引力提供向心力，推导出：线速度与第一宇宙速度的大小关系，以及角速度、向心加速度与月球和赤道上物体的角速度、向心力加速度的大小关系．2019/12/182.(2009·广东高考)发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图4－4－1.这样选址的优点是，在赤道附近()2019/12/18A．地球的引力较大B．地球自转线速度较大C．重力加速度较大D．地球自转角速度较大2019/12/18解析:当发射点在赤道时初速度最大，达465米/秒，随着发射点纬度增加初速度逐步减小。粗看起来这初速度比第一宇宙速度小很多，但是对运载能力的影响却很大。发射场选择低纬度地区对发射地球静止轨道卫星还有一个好处，就是卫星需要消除的轨道倾角小，它节省了卫星变轨能量消耗。这就是为什么总是尽量将航天发射场选择在低纬地区的道理。答案：B2019/12/18[随堂巩固]1．(2009·广东高考)关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是()A．第一宇宙速度又叫环绕速度B．第一宇宙速度又叫脱离速度C．第一宇宙速度跟地球的质量无关D．第一宇宙速度跟地球的半径无关2019/12/18解析：第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错；万有引力提供向心力，由可知第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D错．答案：A2019/12/182．关于行星绕太阳运动的下列说法中不正确的是()A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等C．离太阳越近的行星运动周期越大D．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处答案：ACD.2019/12/18开普勒第三定律是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有