第7章高等数学相关运算

7.1求极限nnn1)1(解MATLAB命令为:n=1:100;xn=(n+(-1).^(n-1))./n;fori=1:100plot(n(i),xn(i),’m.’)holdonend7.1.1理解极限概念数列{xn}收敛或有极限是指当n无限增大时,xn与某常数接近.例7-1作图观察数列当n∞时的变化趋势.从图可以看出,随着n的增大,点列与直线y=1无限接近.所以有:1)1(lim1nnnn例7-2作图观察函数xxxf1sin)(当x→0时的变化趋势.解绘出函数在[-3,3]上的图形,命令为:x=-3:0.01:3;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)当x→0时,f(x)越来越小,趋近于0.所以有:01sinlim0xxx7.1.2用MATLAB软件求极限symsxyz建立符号变量x,y,z.limit(f,x,a)求x→a时函数f的极限.limit(f,x,a,’left’)求x→a时函数f的左极限.limit(f,x,a,’right’)求x→a时函数f的右极限.例7-3求极限1914lim33nnn解MATLAB命令为:symsnlimit((4*n^3+1)/(9*n^3-1),n,inf)ans=4/9例7-47-5略P132-133例7-6求单侧极限xxxxxxee111111lim,11lim解MATLAB命令为:clearsymsxlimit(1/(1-exp(x/(1-x))),x,1,’right’)ans=1limit(1/(1-exp(x/(1-x))),x,1,’left’)ans=0所以有：011lim,111lim1111xxxxxxee例7-77-8略7.2求导数xfnnxf7.2.1导数的概念(略)7.2.2用MATLAB求导数diff(f(x))求函数f(x)的一阶导数.diff(f(x),n)求函数f(x)的n阶导数f(n)(x).diff(f(x,y),x)求函数f(x,y)对变量x的偏导数diff(f(x,y),x,n)求函数f(x,y)对变量x的n阶偏导数Jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])求函数的雅可比矩阵.zhyhxhzgygxgzfyfxf例7-11求函数的导数3222axxy解MATLAB命令为：symsxaf=x^2/(x^2-a^2)^(1/3);diff(f,x)1.参数方程所确定的函数的导数设参数方程)()(tytx,确定变量x和y之间的函数关系，当φ‘(t)≠0时，y关于x的导数.)(')('ttdxdy例7-12设.,1212dxdyeyextt求解MATLAB命令为：t=sym(‘t’)%symstdx_dt=diff(2*exp(t)+1);dy_dt=diff(2*exp(-t)-1);pretty(dy_dt/dx_dt)2.求多元函数的偏导数例7-13z=(1+xy)y,.,yzxz求解MATLAB命令为：symsxyz=(1+x*y)^y;diff(z,x),diff(z,y)3.求高阶导数或高阶偏导数例7-15已知y=e5xxcos(1-x2),求y’,y(4).解MATLAB命令为：x=sym(‘x’)f=exp(5*x)*cos(1-x^2);diff(f,x)diff(f,x,4)例7-17设z=x9+7y4-x5y3,求yxzyzxz22222,,解MATLAB命令为：symsxyz=x^9+7*y^4-x^5*y^3;diff(z,x,2),diff(z,y,2),diff(diff(z,x),y)7.3极值计算fminbnd(f,x1,x2)求函数f在区间[x1,x2]上的极小值，其中f可以是函数名，或函数表达式。例7-20求函数的极值。xxy1解先画图，命令为：x=-1:0.1:1;y=x+sqrt(1-x);plot(x,y)可以看出函数有极大值，故将原函数反号。f=‘-x-sqrt(1-x)’;fminbnd(f,-1,1)ans=0.7500例7-21求函数y=x3+x2-5x-5的极值。解1）先作图，命令为：x=-5:0.1:5;y=x.^3+x.^2-5*x-5;plot(x,y)%可以看出函数在[-5，5]上有极大值和极小值。2）求极小值xmin=fminbnd(‘x.^3+x.^2-5*x-5’,-5,5)x=xminminy=x.^3+x.^2-5*x-5%miny=-8.所以y在[-5，5]上的极小值为-8。3）求极大值xmax=fminbnd(‘-(x.^3+x.^2-5*x-5)’,-5,5)x=xmax;maxy=x.^3+x.^2-5*x-5%maxy=1.4815.所以y在[-5，5]上的极大值为1.4815。7.4求积分int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分。int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分.int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量从a到b的定积分。int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。例7-23求不定积分（3）dxxx24cossin1解MATLAB命令为：clearallsymsxf=1/(sin(x)^4*cos(x)^2);int(f,x)例7-24计算定积分dxexxxx1221)11(解MATLAB命令为：clearallsymsxint(‘(1+x-1/x)*exp(x+1/x)‘,1/2,2)ans=3/2*exp(5/2)例7-25讨论反常积分的敛散性。423)2(xdx解MATLAB命令为：clearallsymsxint(1/(x-2)^3,2,4)ans=Inf即反常积分发散.7.5无穷级数7.5.1级数的符号求和命令格式:symsum(f,n,n1,n2)其中f是符号表达式,表示一个级数的通项;n是级数自变量,如果给出的级数中只含有一个变量,则可省略n,n1和n2分别是求和的开始项和末项.例7-26求级数10117151311的部分和.解MATLAB命令为：symsns1=symsum(1/(2*n+1),0,50)eval(s1)例7-27验证下列各式(1)61212nn(2)94501818nn解(1)MATLAB命令为：symsns=symsum(1/n^2,1,inf)(2)MATLAB命令为：symsns=symsum(1/n^8,1,inf)7.5.2级数敛散性的判定例7-28利用无穷级数收敛的必要条件，判断级数n313131313的敛散性。分析对于级数1nnu，当n无限增大时，它的一般项un不趋于零，即0limnnu则级数发散。解MATLAB命令为：symsnu=3^(-1/n)limit(u,n,inf)(ans=1)例7-29用比值或根值审敛法判定下列级数的收敛性：13322)]1[ln(1)2(232332232131nnnnnn）（注：（a）比值审敛法：设1nnu为正项级数，若,11nnnuu则当ρ1，级数收敛；当ρ1时，级数发散；当ρ=1时，不确定。(b)根值审敛法：设1nnu为正项级数，若,1nnnu则当ρ1，级数收敛；当ρ1时，级数发散；当ρ=1时，不确定。解（1）用比值法，MATLAB命令为：symsnf=3^(n+1)/((n+1)*2^(n+1))/(3^n/(n*2^n))limit(f,n,inf)运行结果为：ans=3/2,2311nnnuu由于因此级数发散。（2）用根值法，其命令为：symsnf=1/log(n+1)limit(f,n,inf)(ans=0)11nnu由于，因此级数收敛。7.5.3级数的泰勒展开格式：taylo(f,v,n,a)其中f为被展开的函数，f按变量v展开，展开到第n项为止；n的默认值为6；参数a指定将函数f在变量v=a处展开，a的默认值为0。例7-30求函数y=sinx在x=0处前10项的泰勒级数展开式。解MATLAB命令为：symsx;f=sin(x)taylor(f,x,10,0)(图形比较：x=-5:0.1:5;y=sin(x);p=[1/3628800-1/504001/1200-1/6010]x1=-5:0.01:5y1=polyval(p,x1)plot(x,y,’r’,x1,y1)1、用MATLAB软件求下列数列的极限：)122(lim)4(]111[lim)3()ln(ln1lim)2(3)2(3)2(lim12ln11nnnnnnnnnnnnnnnn）（2、用MATLAB软件求下列数列的极限：]1)2[(lim)4()(sinlim)3(1)1(3lim)2(11lim16123tan231130xexxxxxxxxxxxxxxx）（3、求下列函数的导数。xxxyxxyxxxyxxxy3cos2cos)4(cos1sin1)3()1()3(2)2(154）（4、求高阶导数：.407cos)2(.,sin14)3(阶导数的求求）已知（xxyybxxy5、求下列定积分：20304cos5sin)2(111xdxxXxdx）（