第8章回归分析预测

经济统计与分析软件应用基础第8章回归分析预测学习要点理解回归分析和相关性的概念掌握一元线性回归的分析方法掌握将非线性问题变换成线性问题，然后求解非线性回归的方法第8章回归分析预测目录8.1基本概念8.2一元线性回归8.3多元线性回归（略）8.4非线性回归8.1基本概念社会经济现象之间的相关关系往往难以用确定性的函数关系来描述，它们大多是随机性的，要通过统计观察才能找出其中规律。比如：广告的投入和销售额两者之间的关系。管理决策通常是建立在两个或多个决策变量之间的依赖关系基础上的。对于这类情况，可以使用因果关系法来进行预测。回归分析（RegressionAnalysis）是因果关系法的一个主要类别，是一种统计学上分析数据的方法，主要是希望探讨数据之间是否有一种特定关系。8.1基本概念因果关系法的特点：由若干变量的观测值来确定这些变量之间的依赖关系，从而由相关变量的未来值和寻找到的变量间的依赖关系来对某个变量进行预测。【例1】某快餐店的主要客户群是在校大学生。为研究各店铺销售额与附近地区大学生人数之间的关系，随机抽取了10个分店的样本（见表）。根据这些数据建立回归模型，根据回归模型预测一个区内大学生人数为1.8万的店铺的季度销售额。8.1基本概念自变量因变量目的方法自变量在相互联系的现象之间存在着一定的因果关系，这时把其中起着影响作用的现象具体化，通过一定的变量反应出来，这样的变量称作自变量。因变量由于受到自变量变动的影响而发生变动的变量称作因变量。8.1基本概念回归分析按照涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析。如果在回归分析中，只包含一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。8.1基本概念回归分析的方法：（1）确定变量（2）建立预测模型（3）求参数（4）进行相关分析（5）计算预测误差（6）确定预测值8.1基本概念Excel中可用以下方法进行回归分析问题求解：图表分析：通过建立散点图，然后添加趋势线。使用回归函数：（麻烦）提供9个函数用于建立回归模型和预测。利用规划求解工具使用回归分析工具（线性）规划求解工具是最有效和最方便的求解工具8.1基本概念8.2一元线性回归—模型•最简单的一种情况：问题只涉及两个统计变量，即只有一个自变量和一个因变量的问题，且两个变量之间存在着线性相关关系。对于这样问题的回归分析称为一元线性回归。•一元线性回归方程：•其中：a为常数项（截距、位移项），可大于、小于或等于零。b为回归系数（斜率），可大于或小于零，但不能等于零。bXaYP2328.2一元线性回归—模型条件•如果满足以下条件，则可以建立一元线性回归模型：只研究两个变量x、y之间的关系；根据有关经济理论，x、y之间存在相关或因果关系；x、y之间关系的散点图近似为一条直线；建模的目的为得到x对y的边际值，进行结构分析或预测。8.2一元线性回归—模型检验•建立了回归模型，或者说找到了一条回归线以后，还需要判断：这条回归线是否能够解释因变量Y的变化？•检验：–1.回归系数的显著性检验——t统计量–2.回归方程的显著性检验——F统计量–3.判定系数R28.2一元线性回归—模型检验（1）回归系数的显著性检验——t统计量用来确定因变量和每个自变量之间是否存在显著的关系。（2）回归方程的显著性检验——F统计量用来确定自变量的全体与因变量之间的关系是否显著。8.2一元线性回归—模型检验（3）判定系数R2可以通过判定系数R2来判断回归方程的拟合优度。•通常认为：当判定系数大于0.9时，所得到的回归直线拟合得较好。当判定系数小于0.5时，所得到的回归直线很难说明变量之间的依赖关系。8.2一元线性回归—模型检验•判定系数R2–在Excel中有一个专门用于计算一元线性回归判定系数的RSQ函数。•语法：RSQ(known_y,known_x)•说明：–known_y因变量各观测值所在的单元格区域–known_x自变量各观测值所在的单元格区域8.2一元线性回归—步骤与方法•第一步：获取自变量和因变量的观测值。•第二步：绘制观测值X、Y散点图（自变量为X轴、因变量为Y轴）。•第三步：初步判断自变量与因变量间的函数关系，写出带未知参数的回归方程。•第四步：用均方差最小原则，确定回归方程中的参数的数值，从而得到回归方程。8.2一元线性回归——步骤与方法•第五步：判断回归方程的拟合优度。•第六步：用所得到的回归方程和给定的自变量值计算因变量的预测值，或者反过来，对于因变量的目标值，利用回归方程求自变量的值。【例8-1】某快餐店的主要客户群是在校大学生。为研究各店铺销售额与附近地区大学生人数之间的关系，随机抽取了10个分店的样本。根据这些数据建立回归模型，根据回归模型预测一个区内大学生人数为1.8万的店铺的季度销售额。8.2一元线性回归8.2一元线性回归要求：（1）采用规划求解方法预测。（2）采用回归分析报告预测。（3）在图表中添加趋势线及回归公式和判定系数。注：该题中，大学生人数为自变量，销售额为因变量。第一步：获取自变量和因变量的观测值8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测自变量因变量第二步：绘制观测值X、Y散点图8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测051015202500.511.522.53季度销售额(万元)区内大学生数（万人）第三步：初步判断自变量与因变量间的函数关系，写出带未知参数的回归方程8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测bXaY假定a=1，b=1利用回归方程计算预测值第四步：用均方差最小原则，确定回归方程中的参数的数值，从而得到回归方程。8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测观测值Yi估计值Y'i8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测目标函数决策变量规划求解方法预测约束条件(可以缺省)目标函数决策变量8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测第五步：判断回归方程的拟合优度8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测第六步：用所得到的回归方程和给定的自变量值计算因变量的预测值。8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测安装Excel时选择“完全安装”或“自定义安装”，不能选择“典型安装”。进入Excel后加载：【文件】/【选项】/【Excel加载项】8.2一元线性回归——采用回归分析报告工具8.2一元线性回归——采用回归分析报告工具8.2一元线性回归——采用回归分析报告工具8.2一元线性回归——采用回归分析报告工具截距a斜率b拟合度判定系数R28.2一元线性回归——采用图表分析（趋势线）【例8.2】某企业2010年3月至2011年6月销售形势稳步增长，且销售额与销售时间（月序号）之间有线性关系：Y=a+bX。根据工作表中提供的数据建立一元线性回归模型，要求：（1）用规划求解法预测2011年第三季度的月销售数据。（2）用回归分析法预测2011年第三季度的月销售数据。8.2一元线性回归（3）绘制一个月序号-销售额散点图，在图上添加线性趋势线、线性回归方程及判定系数R2的值，并与上述两法所得到的截距a和斜率b的值进行对照。（4）将用规划求解法计算得到的2011年第三季度的月销售数据的预测值添加到散点图上（粉红色的点子）。8.2一元线性回归8.2一元线性回归——采用规划求解方法预测8.4非线性回归在实际的问题中，因变量与自变量之间不是简单的可以用一条直线来拟合的依赖关系，而是表现出一种非线性关系。非线性回归分析方法就是用一条曲线来拟合因变量对于自变量的依赖关系。8.4非线性回归根据问题的性质，拟合曲线可以是指数曲线、对数曲线等多种曲线。具体采用何种曲线主要由两个方面决定：自变量与因变量之间本身就存在某种内在的函数依赖关系。根据由自变量和因变量观测值作出的散点图，看出它们之间的依赖关系。8.4非线性回归方法1：添加趋势线法方法2：规划求解法方法3：回归分析法一元非线性回归的求解方法：8.4非线性回归回归分析法是解决一元线性问题的，因此在回归分析前先需要将一元非线性问题转换为一元线性问题，然后才可以通过回归分析求解。即通过对变量的适当变换，把非线性函数转化为线性函数，对新的变量作线性回归，然后再还原到原来的变量。回归分析法幂函数Y=aXb（a0）设：U=lnXV=lnY则：V=lna+bU回归分析法指数函数Y=aebX（a0）设：V=lnY则：V=lna+bX对数函数Y=a+blnX设：U=lnX则：Y=a+bU两个函数指数函数EXP(number)返回e的n次幂。常数e等于2.71828182845904，是自然对数的底数。对数函数LN(number)返回一个数的自然对数。自然对数以常数项e(2.71828182845904)为底。8.4一元非线性回归【例8-3】某企业连续13年对某产品年销售额如工作表中数据所示。试根据这些数据建立适当的模型，要求：（1）使用添加趋势线的方法来预测第14年的年销售额的预测值。（2）使用规划求解的方法来预测第14年的年销售额的预测值。（3）使用回归分析法来预测第14年的年销售额的预测值。8.4一元非线性回归——采用回归分析报告工具【分析】观察年销售额的散点图，可以注意到年销售额是一个典型的指数函数特征，因此可以用指数函数来拟合。即：Y=aebX在进行回归分析前需要先进行变量替换，即：lnY=lna+bX8.4一元非线性回归【例8-4】工作表已有1952年至2001年的钢铁产量数据，请在单元格区域G2:G4中写出指数回归方程的相关参数，并预测2002年至2005年的钢铁产量及建立历年的钢铁产量指数回归预测模型图。回归方程的形式是：Y=aebx。（1）使用数学方法及变量代换将此问题转化为一元线性回归问题。（2）在单元格区域C2:C31中填入新变量U的值。8.4一元非线性回归（3）以新变量U为因变量、“年份”字段为自变量，用规划求解法求参数ln(a)和b的最优值。注：此处“规划求解”要调用两次：第一次调用时，“规划求解选项”对话框中“自动按比例缩放”复选框不选，求解完后保存结果。第二次调用时，“规划求解选项”对话框中选中“自动按比例缩放”复选框，求解完后保存结果。8.4一元非线性回归（4）用规划求解法计算所得的参数预测2002年至2005年的钢铁产量。（5）绘制一个1952年至2001年的年份~钢铁产量散点图，在图上添加指数趋势线、回归方程及判定系数R2的值，并与上法所得到参数的值进行对照。（6）将计算得到的2002年至2005年的钢铁产量预测值添加到散点图上。