联系实际的数学试题

苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座联系实际的数学试题联系实际,解决实际问题的试题也是中考的一个热点.它既体现了课程标准的要求，又体现了数学教学的方向。重视对学生运用知识能力的考查,能表现数学学习的作用;还有一些数学题目要探索、要讨论,这类问题也应有所了解和掌握,因为这样的试题常体现考试的区分度.我们只是对一些问题进行分析和指导,让同学们从中有所领悟,并学会处理这些问题的思想方法,若是用死记硬背的方法去看这些题那么收效是甚微的.例1如图,某人在公路a上向东行走,在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60o方向,前进50米到达B处,又测得建筑物C在北偏东45o方向,继续前进,求此人在行走过程中,离建筑物C的最近距离是多少(结果保留根号)?分析无论什么样的试题,解题前都要做到“认真读题,理解题意”.联系实际的试题更是如此,切不可因为文字过长而粗枝大叶.在理解题意后要学会善于把这个实际问题化为常见的、熟悉的数学问题.如此题就是这样的一道基本题:在Rt△ADC中,∠ADC＝90o,∠A＝30o,B为AD上的一点,且AB＝50米,∠CBD＝45o,求CD的长.无疑,这样的转化后不仅使问题更加清楚,而且在心理上也减轻了负担.下面给出解法:设CD＝x,则BD＝x,AD＝50＋x∵∠A＝30o,∴tg30o＝xx50＝33∴(3－3)x＝503则x＝25(3＋1).例2如图所示,某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A,值班人员发现有一轮船从哨所的正西方向45海里的B处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出了危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进了15海里到达C处,此时哨所第二次发出紧急信号.(1)若轮船收到第一次危险信号后,为避免触礁,航向改变角度应至少为东偏北度,求sin的值;(2)当轮船收到第二次危险信号时,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度?分析与上例一样,在理解题意的前提下,把实际问题转化为数学试题.即(1)已知⊙A的直径为30海里,B为⊙A外一点.AB＝45海里,BD切⊙A于点D,求sinB的值.(2)若C为AB上的一点,且BC＝15海里,CE切⊙A于点E,求∠ACE的度数.把问题转化为这样的两小问后,解决也就十分容易了.解(1)在Rt△ABD中,AB＝45(海里),AD＝15(海里).a北北45oo60ABCABDCABCDE苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座∴sinB＝ABAD＝4515＝31.(2)在Rt△ACE中,AC＝45－15＝30.AE＝15.∴sin∠ACE＝ACAE＝21则∠ACE＝30o.例3如图,这是某防空部队进行射击训练时在直角坐标系中的示意图,在地面O、A两个观察点测得空中固定目标C的仰角分别为和,OA＝1千米,tg＝289,tg＝83,位于O点正上方35千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹,该导弹运行达到距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中E点).(1)若导弹运行轨道为一抛物线,求该抛物线的解析式;(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.问题(1)即为,已知抛物线的顶点E(4,3).且经过点D(0,35),求其解析式.解设所求的解析式为y＝a(x－m)2＋h.∵顶点E的坐标为(4,3)∴y＝a(x－4)2＋3.又∵点D(0,35)在抛物线上,∴16a＋3＝35,a＝－121.则所求的解析式为y＝－121(x－4)2＋3即y＝－121x2＋32x＋35.问题(2)要判断导弹是否能击中目标C.显然判断的关键是问点C的坐标是否满足导弹运行轨道的解析式y＝－121x2＋32x＋35.不难看出,解决此问题要分两步进行(即两个层次)①求点C的坐标;②把点C的坐标代入y＝－121x2＋32x＋35.解设点C坐标为(a,b),作CD⊥x轴,D为垂足.∴OD＝a,AD＝a－1,CD＝b.在Rt△OCD中CD＝OD·tg＝289a.在Rt△ACD中,CD＝AD·tg＝83(a－1),则289a＝83(a－1).解得a＝7,∴CD＝b＝49.故C点坐标为(7,49).把点C(7,49)代入y＝－121x2＋32x＋35,xyCDEo苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座∵49＝－121×72＋32×7＋35,∴点C(7,49)在抛物线y＝－121x2＋32x＋35上,故导弹能击中目标C.例4一个批发与零售兼营的文具店规定:凡一次购买铅笔301支以上(包括301支),可以按批发价付款;购买300支以下(包括300支),只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔,如果给学校初三年级的学生每人买1支,则只能按零售价付款,需用(m2－1)元(m为正整数,且m2－1＞100);如果多买60支,则可以按批发价付款,同样需用(m2－1)元.(1)设这个学校初三年级共有x名学生,则①x的取值范围应为_________;②铅笔的零售价每支应为_________元,批发价每支应为_________元(用含x、m的代数式表示).(2)若按批发价每购15支比按零售价每购15支少付款1元,试求这个学校初三年级共有多少名学生,并确定m的值.这道题文字较长,若不细读就会造成错误.虽然要解决的问题较多,但仍然是逐个去解决的.对每个小问,都是基础知识和基本方法的考查.(1)不难知道,x的取值范围应为240＜x≤300(x为正整数);铅笔的零售价每支应为xm12元;铅笔的批发价每支应为6012xm元.(2)从给出条件可得到如下等式:15·xm12－15·6012xm＝1.整理后,得x2＋60x－900(m2－1)＝0.解得x1＝30(m－1),或x2＝－30(m－1)(不合题意,舍去).怎样去求x与m的值呢?首先应当注意已获得的等式和不等式,即①240＜x≤300;②x＝30(m－1)从上式可见,求x、m的值,只要能确定其中的一个值即可,则240＜30(m－1)≤300∴8＜m－1≤109＜m≤11再考虑m为正整数,故m＝10或m＝11.又因m＝10时,m2－1＝99＜100,不合题意应舍去.当m＝11时,m2－1＝120＞100,此时x＝300.经检验x＝300是所列方程的根.例5已知:如图,AP是△ABC的高,点D、G分别在边AB、AC上,点E、F在边BC上,四边形DEFG是矩形,AP＝h,BC＝a.(1)设DG＝x,S矩形DEFG＝y,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;(2)当AP＝6,BC＝8时,请你求出面积等于9的矩形DEFG的边长DG;(3)按题设要求得到的无数个矩形中,是否能够找到两个不同的矩形,使它们的面积之和等于△ABC的面积?如果能找到,请你求出它们的边长DG;如果找不到,请你说明理由.ACDBEPFGM苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座象这样的问题虽不是联系实际的的试题,但也是中考的热点,因为它体现了知识的灵活运用以及对学生能力的考查.(1)、(2)是常见题,解决也不困难,而问题(3)就使不少学生迷感不解,甚至题意都不清楚了.我们可先对问题(1)、(2)求解,再从中看对问题(3)是否有所启示.解(1)由题意,得y＝DE·x∵△ADG∽△ABC∴APAM＝BCDG又∵AM＝AP－MP＝AP－DE＝h－DE.∴hDEh＝ax.则DE＝－ah·x＋h故y＝－ah·x2＋hx(0＜x＜a).(2)∵AP＝6,BC＝8,y＝9.∴9＝－86·x2＋6x整理后,得x＝2或x＝6即DG的长为2或6.从(1)、(2)的解决,告诉我的解析式y＝－ah·x2＋hx(0＜x＜a)表明符合题设的任一个矩形的面积与一边DG长都是满足上述关系式的.因此,我们可以假设有两个不同的矩形的面积之和是等于△ABC面积.从而便可进行推导.(3)设两个不同矩形的一边长和面积分别为x1、y1,x2、y2.则y1＝－21xah＋hx1①y2＝－22xah＋hx2②故y1＋y2＝－21xah＋hx1－22xah＋hx2＝21ah整理后,得x12＋x22－ax1－ax2＋21a2＝0怎样从一个方程里,求出两个未知数x1、x2的值呢?我们应当学会“猜想”,它可能是一个特殊的方程.(具有这种猜想,就能够使我们思路开拓)(x12－ax1＋41a2)＋(x22－ax2＋41a2)＝0(x1－2a)2＋(x2－2a)2＝0(猜想得到证实)∴x1＝x2＝2a.故不可能找到两个不同．．的矩形,使它们的面积之和等于△ABC的面积.苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座巩固练习1.有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16米,跨度为40米,现把它的图形放在坐标系中(如图所示),若在离跨度中心M点5米处垂直竖立一铁柱支撑拱顶,问这铁柱应取多长?2.A、B两站相距72千米,慢车和快车均由A站开往B站,慢车每小时行36千米,快车每小时行72千米.快车比慢车晚20分钟开出.(1)设慢车行驶的时间为x(小时),试分别写出慢车与快车所行路程y1、y2(千米)与x间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(2)在同一坐标系内画出两个函数的图象;(3)快车在距A站多远处追上慢车?3.先阅读下列一段文字,然后解答问题.某农场300名职工耕种51公顷土地,分别种植水稻、蔬菜和棉花.种植这些农作物每公顷所需职工人数如表1所示:表1表2农作物每公顷所需人数农作物每公顷预计产值水稻4水稻4.5万元蔬菜8蔬菜9万元棉花5棉花7.5万元设水稻、蔬菜、棉花的种植面积分别为x公顷、y公顷、z公顷.(1)用含x的代数式分别表示y和z为:y＝___________;z＝_____________.(2)若这些农作物的预计产值如表2所示,且总产值p满足关系式:360≤p≤370(x、y、z均为整数),求这个农场应怎样安排水稻、蔬菜、棉花的种植面积?xy16m40mAMByto1020304050607012(千米))时小(苏州市高新区通安中学初三数学系列讲座答案与提示1.设抛物线为y＝a(x－20)2＋16(0≤x≤40)∵点B(40,0)在抛物线上,∴可求得a＝－251.又距离M点5米处有两个点.它们的横坐标分别为x1＝15,x2＝25.由此可求得铁柱的长应为15米.2.(1)y＝121x＋41(0≤x≤9);(2)图略;(3)3小时.3.(1)y＝15＋31x,z＝36－34x;(2)p＝4.5x＋9y＋7.5x＝－2.5x＋405由360≤p≤370,解得14≤x≤18.又x、y、z为正整数,∴x＝15或18,当x＝15时,y＝20,z＝16;当x＝18时,y＝21,z＝1