第9章结构特性.

内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝☑史密斯-麦克米伦形及其构造定理☑史密斯-麦克米伦形的基本特性9.1史密斯-麦克米伦形9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点9.3传递函数矩阵的结构指数☑对零点的直观解释☑结构指数第9章传递函数矩阵的结构特性☑极点和零点的基本定义☑极点和零点的推论性定义☑对结构指数的几点讨论内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝☑无穷远处的极点和零点☑无穷远处的结构指数9.4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点9.5传递函数矩阵的评价值☑传递函数矩阵的史密斯-麦克米伦形的合成表达式本章主要内容☑传递函数矩阵在有限平面上的评价值☑传递函数矩阵在无穷远处的评价值内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝给定有理分式矩阵，，其史密斯-麦克米伦形具有如下形式：9.1史密斯-麦克米伦形一、定义qp()Gs11()()0()()()0000rrssMsss()rankGsr其中：（1）和为互质()is()is（2）满足整除性1()()iiss和1()()iiss1,2,1ir内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形二、构造定理给定有理分式矩阵，必存在单模阵和，使变换后的矩阵为史密斯-麦克米伦形。qp()Gs()min,rankGsrqp()Us()Vs()()()UsGsVs例：22222(1)(2)(2)()(2)(2)sssssGsssss22()(1)(2)dsss222(1)()(1)(1)sssNsssss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形N(s)的史密斯形为222(1)()(1)(1)sssNsssss220()0(1)(2)sssssG(s)的史密斯-麦克米伦形为2220(1)(2)()()()02ssssMsdsss22()(1)(2)dsss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形三、史密斯-麦克米伦形的基本特性1.M(s)的惟一性的史密斯-麦克米伦形为惟一，但单模变换对和不惟一。()Gs()Us()Vs()Ms2.M(s)的非保真属性严真有理分式矩阵的史密斯-麦克米伦形不具有保持严真属性，甚至可能为非真。()Gs()Ms3.非奇异矩阵G(s)的属性1()det()()qiiisGssqq非奇异矩阵G(s)内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形4.M(s)的MFD表示11()()0()()()()()()0000rrssMsUsGsVsss引入1()0()()0000qprsEss1()0()()000pprprsssI表M(s)为右MFD1()()()MsEss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形11()()0()()()()()()0000rrssMsUsGsVsss引入1()0()()0000LqprsEss1()0()()000LqqrqrsssI表M(s)为左MFD1()()()LLMssEs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.1史密斯-麦克米伦形5.M(s)的不可简约MFDM(s)的右MFD1()()Ess若取1()()()NsUsEs()()()DsVssU(s)和V(s)为单模阵，则为G(s)的不可简约MFD。1()()NsDs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点1.罗森布罗克定义给定有理分式矩阵，qp()Gs()min,rankGsrqp11()()0()()()()()()0000rrssMsUsGsVsss定义G(s)有限极点为M(s)中的根。()0isG(s)有限零点为M(s)中的根。()0is内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点例：22222(1)(2)(2)()(2)(2)sssssGsssss2220(1)(2)()02sssMsss零点s=0（三重）极点s=-1（两重）s=-2（三重）内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点2.几点说明（1）罗森布罗克定义只适用于G(s)在有限平面上的极点和零点，不适用于G(s)在无穷远处的极点和零点。（2）同一位置上的零点和极点不构成对消3.极点和零点的其他定义（1）给G(s)的右不可简约MFD和左不可简约MFD。1()()NsDs1()()LLDsNsG(s)有限零点为使N(s)降秩的s值或使NL(s)降秩的s值。定义G(s)有限极点为的根或的根。det()0Dsdet()0LDs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点证明：111111111()()0()()()()()()0000()()00()()()()0000000()()00()()00000rrrrprrrqrssMsUsGsVsssssEssssIssssI1()()00LLsEs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点111100()()()()()()()GsUsEssVsNsDs由史密斯-麦克米伦形的属性知，为不可简约右MFD，则，W(s)为单模阵。100()()NsDs0()()()NsNsWs0()()()DsDsWs1()()()()NsUsEsWs()()()()DsVssWs()()rankNsrankEsdet()det()Dscs()=()()0=()=()iGsMssrankEsrrankNsr的有限零点中的根的s值的s值()=()()0=det()0=det()0iGsMsssDs的有限极点中的根的根的根内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点（2）严真G(s)对应的最小实现为,,ABCqp()det()0GssIA的有限极点=的根()0sIABGsC的有限零点=使降秩的s值4.对零点的物理解释极点决定系统输出运动组成分量的模式，零点反映系统对与零点关联的一类输入函数具有阻塞的属性。对严真，最小实现，令为的任一零点，则对满足的所有非零初始状态和所有非零向量，系统对有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出。qp()Gs,,ABC0Z()Gs00000()CxZIAxBu0x0u00()ztutue()0yt内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点对严真，最小实现，令为的任一零点，则对满足的所有非零初始状态和所有非零向量，系统对有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出。qp()Gs,,ABC0Z()Gs00000()CxZIAxBu0x0u00()ztutue()0yt证明：为的一个零点，矩阵在降秩。0Z()Gs0sZ0sIABC00000xZIABuC等价地，存在非零向量，使00,TTTxu00()()()()uYsGsUsGssz系统由u(t)引起的输出时域响应为00000000()lim()()()ztztszuytGsszeGzuesz内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.2传递函数矩阵的有限极点和有限零点对严真，最小实现，令为的任一零点，则对满足的所有非零初始状态和所有非零向量，系统对有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出。qp()Gs,,ABC0Z()Gs00000()CxZIAxBu0x0u00()ztutue()0yt00000000()lim()()()ztztszuytGsszeGzuesz由100()()GzCzIAB001100000()()()()0ztztytCzIABueCzIAzIAxe说明系统输出对与零点关联的一类输入函数具有阻塞作用。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.3传递函数矩阵的结构特性1.结构指数的定义给定有理分式矩阵，qp()Gs()min,rankGsrqp11()()0()()()0000rrssMsss()=()0()0PZiiSGsssss表的有限极点和有限零点集合复数，或对任一kPZS11()()()()()krrssMsss1()()()()()kkrkkksMss由整除性，有12()()()kkrk则称为G(s)在的一组结构指数。12(),(),,()kkrkks内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.3传递函数矩阵的结构特性例：2222(1)(2)(1)(2)()111(3)(2)ssssssGsssss其史密斯-麦克米伦形为22210(1)(2)(3)()(2)01sssMssss0,1,2,3PZS0122210(1)(2)(3)()(1)(2)(3)kssssMsssss1(0)02(0)21(1)12(1)11(2)22(2)01(3)22(3)0内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.3传递函数矩阵的结构特性2.几点讨论（1）引入结构指数，将G(s)的零极点用统一的方式描述出来。（2）结构指数为正表示零点，结构指数为负表示极点，结构指数为零表示无零极点。（3）在处，结构指数中正指数之和反应处的零点数，负指数和的绝对值反应处的极点数。ksksks（4）结构指数的引入，给出了一种求解史密斯-麦克米伦形的方法。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝9.4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点1.定义G(s)在无穷远处的极点反映系统的非真性，无穷远处的零点是研究多输入多输出系统根轨迹渐近行为的基础。基于G(s)的史密斯-麦克米伦形不能定义G(s)在无穷远处的零极点，因为由G(s)导