第一章函数与极限word版习题课

第一章-1-第一章函数与极限章主要内容小结一、函数1、函数的概念定义：设RD，函数为特殊的映射：RDfDf)(:，其中DxxfyyDf),()(，D为定义域，)(Df为值域，图形C：Dxxfyyx),(),(（一般为平面曲线），决定函数的因素是定义域与对应法则。2、函数的特性：单调性、奇偶性、有界性、周期性。3、设函数)(:DfDf为单射，反函数为其逆映射DDff)(:1。4、复合函数：给定函数链)(:11DfDf，1)(:DDgDg，则复合函数为])([:DgfDgf。5、初等函数：常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的能用一个式子表示的函数。二、极限1、极限定义的等价形式（以0xx为例）Axfxx)(lim00])([lim0Axfxx（即Axf)(为无穷小）Axfxf)()(00)(,)(}{00nxxxxxnnn，有Axfnn)(lim。2、极限存在准则及极限的运算法则极限存在准则：（1）夹逼准则（用于证明一些不能直接求出的数列与函数的极限，关键是将函数放缩，使放大与缩小后的函数极限值相同，进而夹在中间的函数的极限值也是同一个值）；（2）单调有界数列必有极限（可用于判定数列极限的存在性，但求不出极限值）。极限的运算法则：（略）3、无穷大与无穷小无穷大与无穷小的定义与关系，无穷小的性质，无穷小的阶的比较（高阶、低阶、同阶、等价）。常用等价无穷小：当0x时，有下列等价替换：axxaxaxxxexxxxxxxxxxxx,~1)1(,ln~1,~)1ln(,~1,21~cos1,~arctan,~arcsin,~tan,~sin24、两个重要极限：1sinlim0xxx；exxx10)1(lim或exxx)11(lim。5、求极限的基本方法：利用定义求极限；利用运算法则求极限；利用极限存在准则求极限；利用重要极限求极限；利用等价无穷小的替换定理求极限；利用连续函数求极限。在求极限时，需将初等运算（有理化、三角恒等变形等）与上述方法交叉使用。6、判断极限不存在的方法：无界函数；左右极限不相等；取两个子数列其极限值不相等；取一个子数列极限值不存在。第一章-2-三、连续与间断1、函数连续的等价形式：)()(lim00xfxfxx0lim0yx)()(,000xfxxfyxxx0,0)()()(000xfxfxf，使当0xx时，有)()(0xfxf判定函数在一点的连续性可选用上述一种形式。2、函数)(xf在点0x连续要求满足：)(0xf有定义；)(lim0xfxx存在；)()(lim00xfxfxx；上述三条若有一条不满足，则点0x为函数)(xf的间断点。根据不满足的情况可将间断点分类如下：函数间断点振荡间断点无穷间断点第二类间断点跳跃间断点可去间断点第一类间断点函数的间断点可能会出现在分段函数的分段点上、函数无意义的边界点上。对分段点，若以大于0x、等于0x、小于0x来分段，则需讨论左右极限与函数值及其关系；若以等于0x、不等于0x来分段，只需讨论极限值与函数值及其关系。3、闭区间上连续函数的性质：有界定理、最值定理、介值定理、零点定理。这里的性质一定要满足闭区间与连续函数两个条件。本部分的重点是介值定理与零点定理，会做围绕介值定理与零点定理的证明题。举例例1设函数1,1,13)(xxxxxf，求)]([xff解：本问题是关于分段函数的复合，要求熟悉分段函数与复合函数。110130491)()(1)(1)(3)]([xxxxxxxfxfxfxfxff例2设xxxfxf2)1()(，其中1,0xx，求)(xf。解：本例是求函数值的问题，一般有配方法与换元法，此处采用的是换元法。令xxt1，则tx11，代入原方程得ttftf12)()11(，即xxfxf12)()11(，令uux111，则ux11，代入上式得uuufuuf)1(2)11()1(，即xxxfxxf)1(2)11()1(，第一章-3-联立画线三式得：1111)(xxxxf。例3求下列极限（1）)sin1(sinlimxxx；（2）xxxsin1lim21；（3）xxxxcot0)11(lim；（4）)11()311)(211(lim222nn；（5）xxxx30sinsin1tan1lim；（6）)1121(lim222nnnnnn；（7）xxeexxxsin12lim410（2000年考研题）（8）xxxx1)321(lim；（9）)0.0,0()3(lim10cbacbaxxxxx，。解：本部分求极限用到三角函数的运算公式、变量代换、分式有理化、代数式的化简等初等运算，并利用极限的运算法则、极限存在准则、重要极限及无穷小的等价替换等方法。（1）xxsin1sin21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx所以0)sin1(sinlimxxx。（2）2)2(limsin)2(lim)1(sin)2(lim,1,sin1lim00021tttttttttxtxxtttx则原式＝令。（3）2cot120)121ln(0cot0cot0limlim)121(lim)11(limcoteeexxxxxxxxxxxxxxxx。（4）)11)(11()311)(311)(211)(211(lim)11()311)(211(lim222nnnnn21121lim1134322321limnnnnnnnn。（5）)sin1tan1(sinsintanlimsinsin1tan1lim3030xxxxxxxxxx4121lim21sincoscos1lim2122020xxxxxxx（6）因为)1,2,1,0(1111222nknkknknnk所以22222222)1(211121121)1(2)1(nnnnnnnnnnnnnnnnn又21)1(2)1(lim2nnnnn，212)1(lim2nnnn，故21)1121(lim222nnnnnn。第一章-4-（7）解：xxeexxxsin12lim4101sin12lim4340xxeeexxxxxxeexxxsin12lim4101sin12lim410xxeexxx，所以原式=1。（8）解：对极限xxxx1)321(lim，令xxxxf1)321()(xxx1]1)32()31[(3则xxf133)(3，由夹逼准则得3)(limxfx（9）解：xxxxxcba10)3(lim=xxxxxcba10)33-1(lim=xcbacbaxxxxxxxxxxcba3111)3(30)33-1(lim=3ln3lnlnln)3(303)33-1(limabcecbaabcxcxbxaxcbaxxxxxxx。例4确定常数ba,，使0)1(lim33bxaxx。解：原式0)11(lim33xbaxxx，即0)11(lim33xbaxx，故01a，即1a，)1(lim33xxbx01)1(1lim233323xxxxx例5当0x时，32xx是x的几阶无穷小？解：设其为x的k阶无穷小，则0lim320Cxxxkx因为kxxxx320lim3320limkxxxx330)1(lim2321xxkx，即61,0321kk。例6设301x，),2,1()3(1nxxxnnn，证明数列}{nx的极限存在，并求此极限（2002年考研题）。证明：本类型的题需证明数列}{nx单调有界，先证明有界性，301x，有23)3(21)3(11112xxxxx，且02x设230kx，则23)3(21)3(01kkkkkxxxxx，故数列}{nx有上界且恒正，下证}{nx的第一章-5-单调性，可用差值法或比值法，差值法：0)3()23()3()3()3(21nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx，数列}{nx单增，比值法：113)3(1nnnnnnxxxxxx，数列}{nx单增，综上数列}{nx单调递增有上界，必有极限，设Axnnlim，)3(1nnnxxx，则)3(AAA，解得23A,0A（舍去），故23limnnx。例7设函数0)ln(010)cos1()(22xxbxxxxaxf在0x连续，则a，b。解：2)cos1(lim)0(20axxafx，bxbfxln)(lnlim)0(20，故baln12，即eba,2。例8求)1)(1(sin)1()(xxxxxxf的间断点，并判断其类型。解：1sin21)1)(1(sin)1(lim1xxxxxx，所以1x为第一类可去间断点，)1)(1(sin)1(lim1xxxxxx，所以1x为第二类无穷间断点，1)1)(1(sin)1(lim,1)1)(1(sin)1(lim00xxxxxxxxxxxx，所以0x为第一类跳跃间断点。例9设函数)1)(()(xaxbexfx有无穷间断点0x及可去间断点1x，试确定常数a及b。解：因为0x为无穷间断点，所以)1)((lim0xaxbexx01)1)((lim0babexaxxx1,0ba，因为1x为可去间断点，所以)1(lim1xxbexx极限存在，0)(lim1bexxeebxx1lim。第一章-6-例10讨论函数xxxxnnnnnxflim)(的连续性，若有间断点，指出其类型。解：此类题目需先求函数的表达式010001)(xxxxf，1)(lim0xfx，1)(lim0xfx，)(lim)(lim00xfxfxx，0x为第一类跳跃间断点，函数除0x外处处连续。例11设513)2sin)(1ln(lim0xxxxf，求)0(,)(lim20fxxfx。解：当0x时，013x，而513)2sin)(1ln(lim0xxxxf，故02sin)(xxf，由等价替换定理有当0x时，3ln~13xx，xxfxxfxxf2)(~2sin)(~)2sin)(1ln(，53ln2)(lim3ln2)(lim13)2sin)(1ln(lim2000xxfxxxfxxfxxxx，3ln10)(lim20xxfx，0)(lim)0(0xffx。例12证明方程)0,0(sinbabxax至少有一个不超过ba的正根。证明：令xbxaxfsin)(，则)(xf在],0[ba上连