胡伟玲-数学运算中的方程法解题技巧

数学运算中的方程法解题技巧广东分校胡伟玲在参加公务员考试的众多考生中，数学运算总是被认为最难应付的部分，甚至在我们的培训中经常有学员询问培训老师是否应该放弃数学运算。我们的观点很明确，行测中的任何一部分都很重要，而数学运算因为权重比较大，更应该把握其中较容易把握的通用题型来为自己争取更多的分数。对于数学运算的解答过程，一般我们可以分为3种类型：直接计算型、方程型、复合型。其中方程型的题大概占到历年考题的50%以上。应该说解方程是我们在数学学习过程中最重视的数学训练之一，然而对于一半以上的题型都可以通过解方程的方法来得出答案的数学运算，为什么却让大部分考生望而却步呢？其中一个很重要的原因是在学校的解方程训练过程中，我们有足够的时间将未知量统统求出来，因此缺少对解题技巧的钻研。而行测的数学运算每道题能分配的时间充其量也就1分钟，要在如此短的时间用传统的方法进行快速的方程计算还是有相当的难度的。因此要想在数学运算模块拿到理想的分数，重视方程法思想在其中的应用就显得尤其重要。接下来我们就对方程法思想在数学运算中的应用进行详细的解析，希望能给各位考生一些指导。首先我们大家要弄明白一个问题：列方程的实质是什么？其实很简单——那就是结合所求将题干中的等量关系（文字信息）转换成用数学符号进行表达的等量关系，这样做的好处有二：一是数量之间的关系变得清晰可辨；二是方便我们进行数学计算。因此，在用方程法解题的过程中有两个关键要素，一是确立明确的等量关系，用数学符号表达出来，而且列出来的方程有利于求解——即如何列方程；二是运用一些方法和技巧快速求解（数字特性法、特值法、设而不求法等）——即如何解方程。相对而言，寻找等量关系并用数学符号表达出来并不难，难在短时间对方程进行求解，因此我们主要从以下三方面来帮助考生提升快速解方程的能力：（注：请考生在看下边的解析时，先自己将题做一遍然后再看解析。）一、与数字特性法相结合快速解题数字特性法一般是指数字奇偶特性法、整除特性法和倍数特性法，这些方法与在惯性思维下列方程解题的方法相比，可以非常快速的解题，甚至相当于“秒杀”，因此掌握这种解题技巧对考生而言非常重要，要不断练习直到变成习惯思维。接下来我们来看几道例题：【例1】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？A.33B.39C.17D.16【解析】这道题大家可以一边读题一边快速列出一个二元一次方程组：X+Y=50和3X-Y=82，然后通过分别求出X、Y值，最终得出答案X-Y=16。这样做45秒的时间完全可以解决。然而如果大家仔细观察一下，题中已知X+Y=50，要求X-Y=？，根据数字奇偶特性法可知：如果两个数的和为偶数，则两数之差也是偶数，再看看选项，只有答案D是偶数，直接选出答案，时间不会超过15秒。（注：行测题基本都是客观题，大家在平时的练习中就要建立“以选项为中心”的读题习惯，这点非常重要，选项有时会透露许多信息）【练习1】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？A．8B．10C．12D．15【例2】师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个？A.320B.160C.480D.580【解析】通过读题，我们可以设这批零件总数为X，列出方程(21X+30)+21(21X+30)+100=X，通过求出X=580得出答案为C。当然我们也可以利用数字的整除特性法快速求解。通过读题，我们知道师父生产的量是徒弟的两倍，如果徒弟生产了A个零件，则师父生产了2A，那么师徒二人总共生产了3A，由此我们知道师徒二人生产的零件数量为3的倍数，看题中的选项只有C符合条件。【练习2】某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满400元再减100元，已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋的原价为多少钱？A.550B.600C.650D.700【例3】某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：A．84分B.85分C.86分D.87分【解析】此题同样可以通过列方程的方式求出答案。然而通过读题可知男平女平=1%201=56。此题快速解题运用的方法是数字的倍数特性法：即若BA=NM（M、N互质），则A一定是M的倍数，B一定是N的倍数。所以，女生的平均分一定是6的倍数，观察选项可知只有选项A符合条件。【练习3】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？A.329B.350C.371D.504二、与特值法相结合简化方程计算特值法的应用场合一般是当题干中出现的关键量没有限定为某一指定数值时（即该关键量可以任意假设，比如说X，或者1，又或者100），可用特值法。那么在方程中使用特值法主要目的是为了简化计算。简化计算就等于节省了时间，在行测考试时间很吝啬的情况下，能够主动节省时间对于考生争取高分无疑具有极大的帮助。接下来我们通过具体的例题来分析：【例4】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为（）A．12%B．13%C．14%D．、15%【解析】通常考生在解答此题的过程中，会将上月的进价设为X，则本月进价为95%X或者0.95X，销售价设为Y，然后列出方程：xxy95.095.0-xxy=6%求出Y与X的比值，进而求出超市上月销售该商品的利润率为xxy=14%。这样的设置有两个未知数，而且还有小数，使得解题变得非常复杂。那么我们如何利用特值法来简化计算过程呢？试想一下，进价设为x与进价设为1或其他任何数，并不会对我们的计算结果产生影响，那我们就可以赋予进价一个特别的值来方便我们的计算。本题可以设上月进价为100，则本月进价为95，售价为Y，这样原来的方程就变为一元一次方程：9595y-100100y=6%，很容易我们可以得出Y=114，则上月利润率为100100114=14%。【练习4】受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了1/15，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点，问原材料的价格上涨了多少？A．1/9B.1/10C.1/11D.1/12【例5】要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45分钟完成。若两人一起折，需要多少分钟完成？A.10B.15C.16D.18【解析】这是一道工程问题，在初高中的学习中，我们学会了对工程问题中总量设“1”的思想，然而设“1”带来的问题是解题过程中会出现分数，使得计算复杂化，对于时间非常紧张的行测题而言，无疑不会带来什么好处。那么对于此类工程问题，我们如何设定工作总量才能快速解题呢？——那就是将工作总量设为工作时间的最小公倍数。比如此题如果设工作总量为1，则甲的效率为1/30，乙的工作效率为1/45，计算就不是那么容易了。但如果我们将工作总量设为90，则甲的效率为3，乙的工作效率为2，那么甲乙的单位工作效率为5，总共90的量，则需要90/5=18分钟。这样这道题不用动笔，心算就可以完成了。【练习5】某工程甲单独做50天可以完成，乙单独做75天可以完成。现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了40天把这项工程做完，则乙中途离开了多少天？A.15B.16C.22D.25三、运用设而不求法快速求解在国考数学运算中，有些题目往往涉及到2个及以上的未知数，一般都要以列方程组的形式来解答。在我们的惯性思维中，总是希望将每一个量都分别求出来，然后在进行相关的运算。事实上在数学运算的考试中，题目要么要求求总量，要么只需要求其中的某一个量，我们在解此类题的时候可以通过对方程组进行观察，利用设而不求的方法进行求解。【例6】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问甲、乙两地间的公路有多少千米？A.300B.250C.210D.200【解析】根据题意，设上坡路长x千米，下坡路长y千米，要求x+y。我们很快可以列出方程组：20x+35y=9；20y+35x=7.5。一般解题的惯性思维是将x与y分别求出，然后相加得出答案。但是解题的过程相对而言比较复杂，很难快速解决问题。事实上，题目要求x+y，通过观察发现，方程组中x与y的系数很特别，将两个方程组直接相加，我们得到这样的方程：（x+y）（1/20+1/35)=16.5，直接就可以求出x+y=210。在时间非常紧迫的情况下，人一般会按照惯性思维走，从而陷入困境。因此我们在解方程之前先仔细观察方程组的特征就显得很重要。这道题体现了“设而不求”方法的精髓，希望考生细心领会。【例7】5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？A．y/6＋5B.5y/3＋10C.(y-10)/3D.3y－5【解析】设甲当前年龄是x，乙当前的年龄为m，则根据题意有：x-5=3（m-5）；x-10=21（y-10）。很多考生的惯常做法——代入消元法是将第一个方程进行变形得出：x=3m-10后，再代入第二个方程得出答案。通过观察我们可以发现x-10=（x-5）-5，因此我们可以将第一个方程整体代入第二个方程得出答案A。这样做在这道题上应该可以节省10秒左右的时间，当大家形成了这种思维之后，在碰到更复杂的题目的时候就可以节省更多时间，因此一定要重视。接下来请看例8。【例8】某工程由甲单独做63天，再由乙单独接着做28天可以完成，如果甲乙两人合作需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙接着做，还需要多少天可以完成？A.56B.60C.74D.85【解析】设总工程量为S，根据题意：63甲+28乙=S；48（甲+乙）=S。一般的思维可能就是先根据这两个方程用S来表示甲和乙，然后代入题中的最后一个条件进行求解。这一过程将变得极为复杂。事实上，只要我们将这两个方程相减，很容易推出3甲=4乙。根据题意已知48（甲+乙）=S，将这个方程稍稍变形：42甲+（6甲+48乙）=S，由此我们可知如果甲先单独做了42天，还剩下（6甲+48乙）的工作量要全部由乙来完成。我们又已经知道3甲=4乙，则6甲=4乙*2=8乙，所以乙还要工作8+48=56天。通过以上3题的示例，希望广大考生意识到一个问题，即在时间非常有限的数学运算解题过程中，如果运用方程法解题，一定要仔细观察方程的特征，强化自己“设而不求”的思维，以做到快速解题。总之，方程法作为数学运算中解题的主旋律，各位考生要在平时备考的过程通过加强基础知识的准备和不断的练习及总结来提高自己解方程的技巧，做到快速求解。当然要将上面所讲的3种方法变成自己的习惯性思维需要大家付出很多的努力，但也往往会给大家带来意外的惊喜和收获！