第一章第1讲线性空间

返回矩阵理论李厚彪[e-mail]13194884912数学科学学院返回一.引言1.方程组求解,Axb1111012,,,,,niinnnaaAainaaA非奇异1xAb1100,nnaADa121211100000000,,,,nnnnnnnaaaLUaaa返回,ADLU1(),JacobiiterativemethodMDNLUAxb0AMN(detM)MxNxbMxNxb11xMNxMb111(k)(k)(k)xMNxMbMxb2(),Gauss-SeideliterativemethodMDLNU1131()(),[()]SuccessiveOverrelaxationIterativemathodsMDLNDU返回第一章线性代数基础返回1.线性空间中定义加法：在是一个数域是一非空集合，设VPV.1、什么是线性空间？如果之间定义数量乘法：与在.;kPVv加法与数量乘法满足：1)2)()()3)0,,0VV有4),,.0VVst1)5)()()6kllklklk)()7kkk)()8性空间.则V称为数域P上的线返回.2线性空间判断下列集合是否构成的全体向量所构向量空间中不平行于一已知)1成的集合，的多项式全体所上次数等于定数数域)1()2nnP构成的集合，?性空间是否构成复数域上的线返回3.与矩阵相关的四个基本子空间（1）值域空间（2）行向量空间（3）核（4）左核这里讨论长方阵A,m-by-n列向量空间返回.4线性空间的基和维数在中有个线性无关的向量而中任意个向量都线性相关则称是定的就义一组基维间数是线性空的:,,,,,,,.nnVnVnVn111线性空间的维数与所考虑的数域有关如：复数域看作自身上的线性空间为的；若看作实数域上的线性空注意1间为维维的.2:.C返回..4与一组基求下列线性空间的维数，阶方阵构成的空间上全体数域nnPnP)1.)2上的空间域中全体对称矩阵构成数PPnn解：njiEPijnn,,2,1,)1基为2)dim(nPnnnjiEEEFiijiijij1)2令.2)1(nn维数为返回可交换的矩阵组，证明：全体与设APAnn5).(AC成的一个子空间，记为证EAAE).(ACE)(,21ACAA2211,AAAAAAAAAAA)()121AAAA2121AAAA)(21AAAPVWVWV:,.如果数域上的线性空间的一非空子集对于的两种运算也构成线性空间则称是的线性定子空间义返回AkA)()21)(1AAk)(1AAk)(1kAA.)(的子空间是nnPAC则的两个非平凡子空间，是线性空间、设VVV21.6.21同时成立、，使中存在向量VVV是非平凡子空间1V证：1V存在向量，则结论成立如果2VV2,如果:是非平凡子空间2V返回2V存在向量，则结论成立如果1V，就有如果1V2211,;,VVVV21,VV返回2空间分解与维数定理设是线性空间的子空间和则与的定为义1:1212,,VVVVV12VV121122{|,}VV返回1l2l211V2V返回定理1：设1V2V和是线性空间V的子空间，则dim()dim()dim()dim()121212VVVVVV(,)121122有VV且是唯一的，这个和12VV就称为直和,记为21VV定义2:设1V2V和是线性空间V的子空间,若对,12VV返回定理2：设,1V2V是线性空间V的子空间,则下列命题等价（1）21VV是直和：（2）零向量表示法唯一；（3）}.0{21VV例1：,,()(),LL设线性无关则是直和.()()LL而，不是直和返回定义3：设sVVV,,,21是线性空间V的子空间，如果和sVVV21,(1,2,,)12VissiisVVV21中的每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为V+V++V12s相互等价：（2）零向量表示法唯一；定理3：设是线性空间V的子空间，则下列命题sVVV,,,21（1）是直和：sVVVW21（3）}.0{)(ijjiVV（4）.)dim()dim(iVW返回3商空间定义1：MMVV模与则称满足如果设''',,,同余).(mod'M记为性质1反身律：性质2对称律：性质3传递律：。)(modM。则若)(mod),(modMM。则若)(mod),(modMM。则)(modM返回定义2：设,V则V的子集{|}MmmM内的任一向量必与;M模同余反之，M与模同余的向量必属于.MM则为模M的一个同余类，称为这个同余类的代表.性质4：.,MMM若则.)()(,MMMM则若性质5：定义3：V的所有模M的同余类的全体组成的集合称为V的商集，记为.V给商集定义如下的加法和数乘运算：()()()MMM（2）()kMkM（1）返回下面证明如上定义的运算的合理性。'(mod)M)(mod'M}（1)：)(11'Mmm})(22'MmmMmm)()(21''''()()MM)()()()(''MMMM（2)：)(mod'M)('MmmMkkmkk'MkMk')()('MkMk返回定理1商集关于上面定义的加法和数量乘法运算为数域上的一个线性空间，这个线性空间称为V对于子空间M的商空间，记为V/M.定理2设M是V的子空间，则dim(V/M)=dim(V)-dim(M).证明：,,,12MVs将的一组基扩充为的基为nss,,,,,,121下面证明12,,,(21)ssnMMM是商空间V/M的一组基.返回(1):先证（2-1）式在V/M内线性无关。MMkMknnss0)()(11MMkknnss0)(11ssnnsskkkk111101111ssnnsskkkk021nsskkk(2):再证任一M都可由（2-1）式线性表出。1111kkkkssssnn()1111kkkkMssnnss返回(mod)11kkMssnn()11MkkMssnn()()11MkMkMssnn()()11MkMkMssnn由（1）和（2）知（2-1）式是商空间V/M的一组基，故dim(V/M)=dim(V)-dim(M)返回oyx那么，取),1,0(则M就是商空间V/M的基，由MkMk)(就得到商空间V/M的所有元素。例1xoy平面向量的线性空间V的维数是dim(V)=2，而ox轴上所有向量形成V的一维子空间M，且有dim(M)=1,故，dim(V/M)=2-1=1因子空间M，可取基),0,1(返回例2设,3RV取M是ox轴的一维子空间，则dim(V/M)=3-1=2oxyz取),0,1,0()1,0,0(,MM基，由就是商空间的)()(MlMk就得到商空间的所有元素。返回4线性流形与凸闭包定义1：所谓线性空间的线性流形，即为}|{1010VrVrP其中，1V是V的子空间,0r是V的固定向量，1V的维数称为线性流形P的维数。注：一维线性流形称为直线，二维线性流形称为平面，更高维的线性流形称为超平面.返回证明：例1任一秩为r的n元线性方程组Ax=b的解集合是组，使其解集合为P.n维向量空间的维线性流形.反之,对nR任一ddnr维线性流形P,存在一系数矩阵秩为的n元线性方程dnrAxb解Ax=b的解集01PrV是n维向量空间的线性流形。反之，设10VrP是nR的d维性流形,取一组基为(,,,,)111121(,,,,)12aaanaaaddddn1V返回(,,,,)111121(,,,,)222222(,,,,)12bbbnbbbnbbbrrrrn作齐次方程组,01xA其中，(,,,),112TTTTAd的一组基为故此方程组的解空间是维子空间.2Vrdn设2V记.0,),,,(121TTrAAA则作Ax=0,故此方程组的解空间即为,1V于是令,0Arb则Ax=b即为所求方程组.返回定理1：设,,,,10s是的任意s+1个向量，且nR,110skkk则形如)11(1100sskkkx的所有向量构成一个维数等于向量组,,,02010s的秩的线性流形P.证明:将（1-1）式改写为)()()(00220110sskkkx))(,),(),(()()()(002010022011sssLkkk则有1V10Vx返回222VrP相等充要条件是.,12121VrrVV定理2：,1V是V的子空间,而2V则,,21Vrr,111VrP证明：必要性，1220PPr)(111VPr120rr112Vrr222,PrV（1）（2）)(111VPr12rr121)(Vrr12VV同理，21VV}21VV返回充分性：21VV122111;VrPVrP121Vrr21PP定理3：中任意两条直线包含在某个三维线性流形中。)3(nRn证：102101;trtr:1l:2l0x)(0031211ttt10VP即,031时当ttPt120,1,032时当ttPt110{时，当3)dim(1VP就是三维线性流形，时，当3)dim(1V返回.,,''''1是三维线性流形而包含这两条直线则扩展成三维子空间中将在PVPVVRn定理4：中两条直线)1(nRn1010txtx和位于一个平面内的充要条件是线性相关.)(,,0011证必要性：位于平面P内，1010txtx和设P平行于二维子空间),(111LV100V)(,,0011线性相关.返回充分性：)(,,0011线性相关线性相关11,)1线性无关11,)2{线性相关11,)1平行和直线1010txtx必在同一平面内和1010txtx11,)2线性无关1100lkPL),(1100内必在平面和Ptxtx1010返回定理5空间的两个维数分别为k和h的线性流形P和Q包含在一个维数的线性流形中。nR1hk证：设,,2010VQVP,,,,121kVV的基底分别为.,,1h和令),,,,,,(00113kkLV