第一类Bessel函数求解过程

第一类Bessel函数求解零阶Bessel方程：02'''2yxxyyx1）两侧同除以2x得，0'1''yyxy2）2）式中系数xxp1)(,1)(xq在0x处有奇性，应用广义幂级数法求解。假定上述方程有级数形式解0)(kkckxaxy其中，c、ka为待定常数，00a。对)(xy、)('xy逐项求导01')()(kkckxkcaxy02'')1)(()(kkckxkckcaxy代入1）式中得，0)()1)((0200kkckkkckkkckxaxkcaxkckca整理上式，0)()1(22211202kkckkccxaakcxacxac由级数理论可知，各个x幂的系数为零，即有002ac3）0)1(12ac4）0)(22kkaakc5）由于00a，0c，代入4）中得，01a代入5）中得，)2()(22kkcaakk重复利用此公式，并考虑01a得012ma；而2a、4a……ma2都可用0a表示2202)!(2)1(maammm取定0a的值就可以得到方程的特解为此我们不妨取10a则，222)!(21)1(mammm得到2）式的一个特解02220)!(2)1()(nnnnnxxJ——零阶第一类Bessel函数第二部分当为n阶Bessel方程时，即0)(22'''2ynxxyyx同上假定y(x)代如原方程整理求解系数之间的递推关系得下式022)()2)(1(!21)1(amnnnmammm同样，为使解简单可以取!210nan得到原式的一个特解022)!(!21)1()(mmnmnmnxmnmxJ——n阶第一类Bessel函数