第一节函数.

引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿目录上页下页返回结束1.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分机动目录上页下页返回结束二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节目录上页下页返回结束华罗庚1.1函数1.1.1函数的概念1.1.2函数的表示法1.1.3函数的特殊性质1.1.4复合函数与反函数1.1.5初等函数1.1.6几个常见的非初等函数因变量自变量定义1设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作DxyDxyyx)(xfy数集D叫做这个函数的定义域函数值全体组成的数集0x当时，称为函数在的函数值.Dx0)(0xf}),({DxxfyyW称为函数的值域.1.1.1函数的概念(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f注1.函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.211xy)1,1(:D例如21xy]1,1[:D例如注2：两个函数相等当且仅当两个函数有相同的定义域并且定义域中的每一点的函数值都相同时,称这两个函数相等.定义2区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.定义3.邻域:.0,且是两个实数与设a).,(aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{),(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{),(axxaU,}{邻域的称为点数集aaxx1.1.2函数的表示法常用的函数表示法有三种:（1）解析法（公式法）（2）图象法（3）表格法1.1.3函数的特殊性质M-Myxoy=f(x)I有界无界M-MyxoI0x,0,,(),DMxIfxM若I有成立1.函数的有界性()..fx则称函数在I上有界否则称无界2．函数的单调性:,,D区间I的定义域为D设函数f(x),,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf)1()()(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数时,当及上任意两点如果对于区间2121,xxxxI)2()()(21xfxf恒有例如,函数在内是单调增加的.如图所示.3)(xxf),(例如,函数在内是单调减少的,在内是单调增加的.如图所示.2)(xxf)0,(),0(3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf偶函数的图形关于轴对称.y有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇函数的图形对称于原点.不满足上述性质的函数为非奇非偶函数.例如与是奇函数；xxfsin)(3)(xxf与是偶函数；2)(xxfxxfcos)(1sin)(xxfxxxfcossin)(与是非奇非偶函数.第一面224．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l例如函数都是以为周期的周期函数.,sinxxcos2函数都是以为周期的周期函数.,tanx,cotx|,sin|x|cos|x并非所有的周期函数都有最小正周期.例如函数(为常数)及狄利克雷(Dirichilet)函数cxf)(c为有理数01)(xD为无理数xx均为周期函数,但没有最小正周期.1.1.4、复合函数与反函数函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，还有复合运算与求反函数的运算.定义1设函数)(ufy)(xgu的定义域与的值域的交集非空，则)]([xgfy是)(xgu的复合函数.例如2xyarcsin可看作由2xuuy,arcsin复合而成.注：不是任何函数都可以复合成一个函数。)(ufy例4设,sin)(,)(2xxguufy求)].([xgf解由于的值域xxgusin)(].1,1[)(Dg的定义域为2)(uufyfD).,(显然,)(fDDg故可进行复合运算，即xxfxgf2sin)(sin)]([例6设,2)(,arcsin)(2xxuuufy求)].([xf的定义域为uufarcsin)(fDfDD)(],1,1[是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而)2arcsin()]([2xxf，2)(2xx由于解),2[)(D例8函数是由哪些函数复合而成的.21lnxy解显然，21lnxy是由21,,lnxvvuuy复合而成.定义2设函数的值域为，如果对于每一个，根据关系能确定唯一的，则称得到的新函数为的反函数.亦称与互为反函数.函数的反函数常记为Dxxfy),(RRy)(xfyDx)(yx)(xfy)(xfy).(1xfy相对于反函数来说，原来的函数称为直接函数.它们图形的关系如下所示.)(1xfyxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o)(yx)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy函数在上没有反函数，但在及上分别有反函数及.yx2xy),(]0,(),0[yx函数在上为严格增函数，值域为，它的反函数是，定义域和值域都是3xy),(),().,(3xy函数在内严格增加，值域是有反函数它的定义域是值域是xytan2,2),,(,arctanxy),,(.2,2例9求函数的反函数.)(21)(xxeexf解则令),(21xxeey0122xxyee12yyex(舍去“-”))1ln(2yyx将字母与互换,得yx)1ln(2xxy)1ln()(21xxxf即1.基本初等函数cxyO（1）常数函数cy如下图所示.1.1.5初等函数2.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy3.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey4.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(对数函数与指数函数互为反函数.5.三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot正割函数xysecxysecxycsc余割函数xycsc它们均为周期函数，和有界.其余三角函数无界.为奇函数，为偶函数.,sinxxcos,sinx,tanxxcsc,cosx,cotxxsec6.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数xycot反余切函数arc是单调递增的,xarcsin,arctanx是单调递减的，,arccosxxarccot它们均为有界函数.2.初等函数由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如,1)(2xxxf),1(log)1(2)(21sin2xxxgx111arctan21sin)(2222xxxexx设都是初等函数，则幂指函数也是初等函数.)(),(xvxu)()(xvxu应用上还常遇到另一种初等函数.111arctan21sin)(2222xxxexx3.双曲函数xycoshxysinh双曲函数xey21xey212sinhxxeex双曲正弦奇函数.),,(:D在内单调增加.),(在内单调增加.),,(:D2coshxxeex双曲余弦偶函数.在内单调减少.)0,(),0(xxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切奇函数,),(:D有界函数,在内单调增加.),(双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx例1符号函数010001sgnxxxxy当当当1.1.6几个常见的非初等函数1-1xyoxxxsgn上述函数是分段函数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线例2取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数.x在为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo例3狄利克雷函数如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为分段函数,例4、小数部分函数y=(x)=x－[x]x∈R它的值域是[0，1）例5、黎曼函数.,00,1)(是无理数为互质的整数，，，是有理数xnnmnmxnxRy以上几个函数都是由分段函数表示的