第一讲集合及其表示

初升高暑假衔接班第一讲集合的含义及其表示讲义第1页共4页第1页共4页一、集合的基本概念1、集合的定义：某些确定的不同对象集在一起，就构成一个集合．集合中每一个对象称为该集合的元素．集合常用大写字母ABC、、来表示．集合的元素通常用英语小写字母abc、、表示．空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作．2、集合中元素的性质确定性：对于一个元素要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一．无序性：同一个集合的元素是互不相同的，相同的元素只能出现一次．互异性：集合中的元素没有先后顺序．小贴士：集合的互异性在解题中应用非常广泛，在解题时如果遇到集合中求解字母的值的问题，一定都要把值带回集合中检验，集合中是否有元素相等．例1-1：下列语句能否确定一个集合？（1）高一数学课本中的难题；（2）所有的正三角形；（3）方程220x的实数解；（4）中国古代的四大发明；（5）中央电视台著名节目主持人；（6）某校高一所有聪明的学生;（7）高一（1）班，矮个子的同学全体．（8）平方后值等于4的实数的全体．（9）与100接近的实数的全体．3、元素与集合的关系若a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA，读作“a属于A”．若b不是集合A的元素，就说b不属于A，记作bA，读作“b不属于A”．4、集合的分类按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等．按元素的个数：空集、有限集、无限集．5、常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；复数集，记作C．例1-2：判断下列语句是否正确？（1）由1，3，4，2，1，3，5构成的一个集合，这个集合共有7个元素；（2）2012年参加伦敦奥运会的中国代表团成员构成的集合是有限集；（3）所有的正方形构成的集合是无限集；（4）面积为32cm的三角形构成的集合是有限集；（5）周长为16cm的正方形构成的集合是有限集；例1-3：用符号或填空：（1）0___N（2）3___Z（3）3.14___Q（4）___Q（5）2___R（6）sin60___Q（7）0___0（8）0___二、集合的表示法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内例如：大于3的所有整数表示为：{Z|3}xx方程2250xx的所有实数根表示为：{Rx|2250xx}3、图示法：Venn图法例如：321表示集合{1,2,3}4、数集与点集：代表元素是,,xyt的集合是数集，代表元素是(,)xy的集合是点集；例如：集合的含义及其表示家庭作业初升高暑假衔接班第一讲集合的含义及其表示讲义第2页共4页第2页共4页集合2xyx表示自变量x的全体，即xxR是数集；集合2yyx表示函数值y的全体，即0yy≥是数集；集合2()xyyx，表示抛物线2yx上的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而集合2yx则是用列举法表示的单元素集，它的元素是2yx．小贴士：用列举法表示集合时，元素与元素之间必须用“，”隔开；当集合中含有的元素较多时，一般用描述法表示，如果用列举法表示，可用省略号，但必须把元素间的规律表示清楚．例2-1：思考下列集合中的元素表示的意义：2{10}x-=；2{|10}xx-=；2{}yx=；2{|}yyx=；2{()|}xyyx=，．例2-2：用列举法表示下列集合：（1）自然数集N；（2）{|32}ZAxx；（3）2{|230}Bxxx；（4）27{(,)|}25xyDxyxy；（5）5,1MmmmZZ；（6）2{|230}AxZxx；例2-3：用描述法表示下列集合：（1）{22}，；（2）小于10的全体奇数构成的集合；（3）在平面内，线段AB的垂直平分线；（4）二元一次方程210xy的解集．例题知识小结：1、若233,21,1aaa，求实数a的值2、若221,,xxx，求实数x的值.3、求集合2{,2,}xxx中的元素x的取值范围．4、给定三元集合2{1}xxx-，，，求实数x的取值范围．5、设集合1A面积为的矩形，1B面积为的等边三角形，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集6、设集合=1,2,3A，{4,5}B，=,,MxxabaAbB，则M中元素的个数.7、已知集合2{|320}Axaxx至多有一个元素，则a的取值范围．8、已知集合2=340AxRaxx；（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中只且仅有一个元素，求实数a的值；（3）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．9、已知Za，(,)3Axyaxy≤，且(2,1)A，(1,4)A，求满足条件的a的值．初升高暑假衔接班第一讲集合的含义及其表示讲义第3页共4页第3页共4页三、集合的基本关系1、子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB），读作“A包含于B”或“B包含A”．2、真子集：如果集合AB，并且存在xB且xA，则称集合A是集合B的真子集，记作：．3、集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若AB且BA，则称A等于B，记作AB．4、空集：不含任何元素的集合叫做空集．5、空集的性质：（1）空集是任何一个集合的子集．（2）与{0}是不同的，中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是0Ü．（3）与{}是不同的，中没有任何元素，{}则表示含有一个元素的集合，它们关系是{}或{}或Ü．（4）显然，0，0{}．例3-1：用适当的符号填空：（1）___{0}（2）2___{(1,2)}（3）0___2{|250}xxx（4）{3,5}____2{|8150}xxx（5）{3,5}___N（6）{(2,3)}___{(3,2)}（7）{|21,}___{|41,}xxnnxxkkZZ例3-2：已知集合2{1}pxx|，集合{1}Qxax|，若QP，则a的值为（）A．1B．1C．1或1D．0，1或1例3-3：（1）已知集合12axaxA，42xxB，求能使BA成立的实数a的取值范围.（2）=26,=23AxxBxaxa，若BA,求a的取值范围.填表集合元素个数子集个数{}a{}ab，{}abc，，{}abcd，，，①你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的关系的规律吗？②如果一个集合有n个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？有多少个非空子集？有多少个非空真子集？6、子集的个数：设集合A中元素个数为n，则：①子集的个数为2n，②真子集的个数为21n，③非空真子集的个数为22n．例3-4：（1）已知{123}Aabc，，，，，，则A的子集有个，真子集有个,非空真子集有个.（2）集合{03}AxNx的真子集个数为个.（3）已知集合4,7,8M且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有_______个.例3-5：已知4,3,2,11A，则集合A有___个.难点探究初升高暑假衔接班第一讲集合的含义及其表示讲义第4页共4页第4页共4页康托尔格奥尔格·康托尔（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845．3．3-1918．1．6）德国数学家，集合论的创始人．生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）．父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家．1856年全家迁居德国的法兰克福．先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习．康托尔，1862年入苏黎世大学学工，翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内克．1866年曾去格丁根学习一学期．1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程2220axbycz求解问题的论文获博士学位．毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角．他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数．1872年成为该校副教授，1879年任教授．由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身．1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世．由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透着所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响．不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑．加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克．克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义．他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容．除了克罗尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见．法国数学家庞加莱说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”．他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”．德国数学家魏尔认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”．克莱因也不赞成集合论的思想．数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交．集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营．1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃．他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔．不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作．康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来．瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具．在分组会上，法国数学家阿达玛，也报告康托尔对他的工作的重要作用．随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性．希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”．在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首．当康托尔的朴素