第七章多元函数微积分知识点和相关练习题.

机动目录上页下页返回结束§7.1预备知识§7.2多元函数的概念§7.4多元复合函数与隐函数微分法§7.3方向导数、偏导数与全微分第七章多元函数微积分学§7.5高阶偏导数与高阶全微分§7.6多元函数的极值§7.7二重积分机动目录上页下页返回结束§7.1预备知识一、空间直角坐标系二、向量代数简介三、空间曲面与方程机动目录上页下页返回结束1.坐标系的建立.,,,确定各轴的方向按右手规则作三条相互垂直的数轴点，过在空间任取一点OzOyOxOO.,轴的正方向相同与指的方向轴的正方向，而中指所分别指着果将右手的拇指和食指所谓右手规则是指：如OzOyOx一、空间直角坐标系xyzO.Oxyz空间直角坐标系，记为机动目录上页下页返回结束点称为坐标系原点；其中O.,平面平面，平面称为为坐标平面，分别确定一个平面，称每两个坐标轴zOxyOzxOyxoy面yoz面zox面ⅠⅡⅢⅣⅥxyOzⅦⅤⅧ轴；轴、轴、称为坐标轴，分别称为zyxOzOyOx,,.88个卦限称为个部分，空间分成这三个平面将机动目录上页下页返回结束2.空间中的点与三元有序数组的对应,,,,,000zyxOzOyOxPPPzyx坐标分别为轴上的轴、轴、，在设点是空间中任意一点，设PP),,(000zyx一一对应xyzxPzPyPPO0x0y0z坐标，坐标，坐标，的为点分别称zyxPzyx000,,.),,(),,(000000zyxPzyxP通常记为，的坐标为而称点机动目录上页下页返回结束zyxOxyz),,(zyxM).0,0,0(O坐标原点;,,RQP坐标轴上的点;,,CBA坐标面上的点)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,0(zyB),0,(zxC)0,,(yxA)0,0,0(O一些特殊点的坐标机动目录上页下页返回结束1.向量概念向量是一个既有大小又有方向的量.大小相等、方向相同的两向量称为相等的向量..表示的长度用向量aa方向；为零向量，零向量没有，则称若aa0二、向量代数简介空间中通常用有向线段表示向量.1P2P.1，则称为单位向量若a机动目录上页下页返回结束2.向量的加减法向量的加法，设bOBaOA,COABabba.)(babaOCBCAOOBOA，记作量向的和和称为量的对角线向四边形为邻边的平行和以向量的加法有交换律与结合律，即;1abba）（.)()(2cbacba）（机动目录上页下页返回结束向量的减法.)(babacacb，记为向量的差与定义为就，则的和向量为和法的逆运算，即若向量向量的减法定义为加3.数量与向量的乘积（即数乘）是向量，是一个向量，则乘积是一个实数，设aaCOABabba,)(的绝对值表示其中它的大小为aa的方向相同，与时，方向为：当aa0的方向相反，与时，当aa0.00意的这时它的方向可以是任，时，当a机动目录上页下页返回结束由以上定义易得：.;)i(零向量平行于任何向量，使得一个实数存在互相平行的充要条件是和两个非零向量abba.)(.11)ii(向量的单位化为称向量同方向的单位向量是一个与向量所得的乘以它的长度的倒数一个非零向量aaaaaaaaaa机动目录上页下页返回结束)(为实数，列四条性质数量与向量的乘积有下;11aa）（;)(2aaa）（;)()()(3aaa）（.)(4baba）（机动目录上页下页返回结束4.向量的分解与向量的坐标.,,,),,(,zyxxyPPPPzyxPOxyzOOP及作法，得到点如图的坐标为点终的原点直角坐标系是的始点设向量由向量加法定义有zxyOPOPOPzyxOPOPOPzPyxPOxyPz),,(zyxPxyPijk..,,,,,,,如图所示量称这三个向量为坐标向表示用并分别同其方向与各轴的正向相的三个单位向量为始点上分别取以原点在坐标轴kjiOOzOyOx机动目录上页下页返回结束得的代数长度分别为及方向相同分别与于是由zyxOPOPOPkjiOPOPOPzyxzyx,,,,,,,,,,xiOPx,yiOPyzkOPz因此zkyjxiOP式，在三个坐标轴上的分解上式称为OP.},,{,,,,zyxOPOPzyxkji记作的坐标，称为向量的系数对应于机动目录上页下页返回结束)17(222zyxOP故有而,,,zOPyOPxOPzyx222zyxOPOPOP22zxyOPOPOP机动目录上页下页返回结束)27()()()(21221221221zzyyxxPP）式得由（17，即212212212)()()(zzyyxxOP5.空间中两点间的距离公式,),,(),,,(22221111任意两点是设zyxPzyxPxyzO1P2PP1221OPOPPPkzzjyyixx)()()(12121221PPOPkzzjyyixx)()()(121212.)27(距离公式式即为空间中两点间的机动目录上页下页返回结束6.两向量的标量积（即内积）.),(,),cos(,的夹角与表示其中的标量积为与是两个向量，定义设bababababababa标量积的基本运算性质：;1abba）（;)(2cbcacba）（.,)()3(为一实数baba0baba则与的坐标分别为与若,},,{},,{222111zyxzyxba212121zzyyxxba即两个向量的标量积等于它们对应坐标的乘积之和.两个向量垂直的充分必要条件是它们的标量积等于零，即时，当ba,212121zyxaa,2aaa又,2121212zyxa.212121zyxa即机动目录上页下页返回结束三、空间曲面与方程.,都是点的几何轨迹面空间中的任意曲下在空间直角坐标系SOxyz)37(0),,(),,(zyxFzyx一个三元方程都要满足的坐标凡位于这一曲面上的点.)37(,)37(,)37(的图形的几何图形称为方程曲面而的方程为曲面我们称方程的坐标都不满足方程而不在这个曲面上的点SS机动目录上页下页返回结束例1.,),,(0000的方程为半径的球面以为中心求以SRzyxP解,),,(的任意一点上是球面设SzyxP2202020)()()(Rzzyyxx即.0RPP则得由两点间的距离公式)27(Rzzyyxx202020)()()(.程这就是所求的球面的方xyzO),,(000zyxR机动目录上页下页返回结束例2.,)2,1,0()1,0,1(21迹方程点的距离相等的点的轨求到这两与点设有点MM解是所求轨迹上的点，设),,(zyxP03622zyx整理得得则由21PMPM222222)2()1()0()1()0()1(zyxzyx.此即所求的轨迹方程.21的垂直平分面段分线易知它表示的是垂直平MM机动目录上页下页返回结束例3.π)0(的方程的平面为平面的距离坐标平面且与求平行于kkxOyxOy解上任意一点，是所求平面设π),,(zyxP,)0()()(222kzyyxxPPxykzkz或到平面的距离为：),,(zyxP的方程为即得π.kzkzkxOy或的平面有两个：平面平行且相距为这表明与xyzO),0,0(k),0,0(k机动目录上页下页返回结束xyzO例4方程为上的一个圆，这个圆的面的交线是平与平面球面21211222zzzyx.211222zzyx211222zzyx机动目录上页下页返回结束1.平面空间中平面的一般方程为.,,,,,0不全为零均为常数，且其中cbadcbadczbyaxxyzO1zyxxyzO3y机动目录上页下页返回结束2.柱面定义7.1.)(,;,)(称为柱面的准线曲线定称为柱面的母线动直线面称为柱移动所得到的空间曲面沿着某给定的曲线动直线平行的与给定直线ClClLxyzO)(ClxyzO122yxxyzO122yx机动目录上页下页返回结束3.二次曲面.0,,,)3,2,1(,,0321321232221不全为均为常数，且曲面，其中所表示的曲面称为二次三元二次方程iiiiiicbadicbadzcycxczxbyzbxybzayaxa二次曲面有下面几种标准形式，它们分别表示：;)0(2222RRzyx球面：)0,,(1222222cbaczbyax椭球面：机动目录上页下页返回结束;)0,,(1222222cbaczbyax双叶双曲面：);0,,(0222222cbaczbyax二次锥面：;)0,(22222bazbyax椭圆抛物面：.)0,(2)(2222bazbyax：马鞍面双曲抛物面);0,,(1222222cbaczbyax单叶双曲面：机动目录上页下页返回结束解,),,(满足上面的方程如果zyx.33个坐标轴及原点均对称个坐标平面、椭球面关于,,,czbyax故椭球面被包含在一个直平行六面体内，它是有界的图形.例5.1222222的图形作椭球面czbyax.),,(,),,(),,(),,(),,(),,(,),,(均满足方程以及，，，则zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx故有个非负数之和，右边为又因方程左边是,13机动目录上页下页返回结束为椭圆；面截椭球面，截痕也均平平面、类似地用zOxyOz.012222平面的椭圆这是平面截椭球面，截痕为易知，用xOyzbyaxxOy.),,(,,均为椭圆去截椭球面所得的截痕面用平行于坐标平面的平clbhaklzhykx.如图所示综上可知椭球面的图形Ozyx机动目录上页下页返回结束例6.1222222的图形作单叶双曲面czbyax解.且它是无界图形并面均对称的对称图形；原点、坐标轴、坐标平面的图形是一个关于由方程可知，单叶双曲、椭圆012222zbyax是个坐标平面的截痕分别图形与3、双曲线012222xczby012222yczax双曲线机动目录上页下页返回结束的截痕也都是椭圆；图形与平面hz.的截痕均为双曲线和图形与平面hxhy.的大致形状如图所示综上可知，单叶双曲面xyzO机动目录上页下页返回结束)0,(22222bazbyax椭圆抛物面xyOz机动目录上页下页返回结束)0,,(1222222cbaczbyax双叶双曲面xyzo机动目录上页下页返回结束xyzO)0,(22222bazbyax双曲抛物面机动目录上页下页返回结束.})()(),{(}{)()(),(022020000000圆邻域，如图所示的称为点圆周即不含为半径的圆的内部为圆心、正数，以为一平面上的一定点，是设PyyxxyxPPPPOPxOyyxP.}{\)()(00000PPOPPPO心邻域，记为的去后，称为去掉中心上述邻域四、平面区域的概念及其解析表示xyO0P机动目录上页下页返回结束:的关系有以下三种与上任一点，则平面为平面上的一点集，是设DPxOyPxOyD.,)(,0的内点是则称点使得内点：若存在DPDPO..,,,的边界的所有边界点集合称为的边界点为点集则称的点又含有不属于的点既含有属于的任何邻域内边界点：若在DDDPDDP.,)(,0的外点是则称点使得的某个邻域，即存在外点：若存在DPDPOP机动目录上页下页返回结束,}94),({22yxyxD点集;9422的内点的点都是满足Dyx；它们都属于的边界点的点均为满足DDyx,422.942222yxyxD与的边界是圆周；但它们都不属于边界点的的点也均为满足DDyx,9