自考2324离散数学第三章课后答案

自考2324离散数学课后答案3.1习题参考答案1、写出下列集合的的表示式。a)所有一元一次方程的解组成的集合。A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合}晓津答案：A={x|ax+b=0∧a∈R∧b∈R}b)x2-1在实数域中的因式集。B={1,(x-1),(x+1)|x∈R}c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。C={x,y|x2+y21}晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且x2+y21}d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。D={r,θ|r1,0=θ=360}晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且r1,0=θ=2π}e)能被5整除的整数集E={x|xmod5=0}2、判定下列各题的正确与错误。a){x}{x};正确b){x}∈{x};正确晓津观点:本命题错误。理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。c){x}∈{x,{x}};正确d){x}{x,{x}};正确----------------------------------------------------------------3、设A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。a){2}∈A;b){2}∈Bc){2}Ad){2}B;e)∈Af)A解：jhju、晓津和wwbnb的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。因此不能说{2}属于A，当然如果说2∈A则是正确的。对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f式则是正确的。空集包含于任何集合中，但空集不一定属于任一集合。----------------------------------------------------------------4、设A={}，B=(A),问下列各题是否正确。a)∈B,B正确b){}∈B,{}B正确c){{}}∈B,{{}}B正确5、设A={a,{a}},问下列各题是否正确。a){a}∈(A),{a}(A);正确晓津答案：本命题不正确。(A)={，{a},{{a}},{a,{a}}},在这个集合中，并无a这个元素，因此命题的后半个{a}(A)是不成立的。b){{a}}∈(A),{{a}}(A);正确c)设A={a,{b}},a),b)是否正确。a和b都正确晓津答案：如此则a),b)均不正确。此时,(A)={，{a},{{b}},{a,{b}}}。除了a式的前半句正确，其他的都不成立，因此a),b)式均不成立。6、设某集合有101个元素，试问：a)可构成多少个子集；2n个元素(子集吧)b)其中有多少个子集元素为奇数；其中有2n-1个子集元素为奇数晓津不同意见：我认为这个答案不成立,如集合有3个元素，则它的幂集中有5个子集中元素个数为奇数，而不是7个。可是我也还没找到这个式子。sphinx提供的答案是2100，可通过多项式分解找到规律，空集不算。晓津想，应该算上，若算上则是2n-1+1c)是否有102个元素的子集。无3.2习题答案1、给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i^250}={0,1,2,3,4,5,6,7}C={i|i可被3整除0≤i≤30},={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}D={i|i=2^K,K∈Z+,1≤K≤6}={2,4,8,16,32,64}求下列各集合。a)A∪(B∪(C∪D));={2,4,8,16,32,64,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,1,5,7}b)A∩(B∩(C∩D));=A∩(B∩}=c)B-(A∪C);=B-{0,1,2,7,8,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}={4,5}d)(～A∩B)∪D={8}∪D={2,4,8,16,32,64}晓津补充:这里的(～A∩B)应当等于(B-A)而不是(A-B),所以最终的答案是：{0,3,4,5,6}∪D={0,2,3,4,5,6,8,16,32,64}----------------------------------------------------------------2、a)如果对于一切集合，有X∪Y=X，则Y=φ证明：X∪Y={i|i∈X∨i∈Y}=X{i|i∈X∨i∈Y}=X{i|i∈X∨i∈Y}={i|i∈X}由此可见：Y=φ晓津的证明：必要性：设Y≠φ则Y中必有一个以上元素。若有一个元素y,y∈Y∧yX则有X∪Y≠X这与前提矛盾。充分性：若Y=φ则任合集合X∪Y=X成立。本题要注意Y有时包含于X的，若用命题表达式论证，应用到量词。b)证明对所有集合A，B和C，有：(A∩B)∪C=A∩(B∪C);iffCA。(A∩B)∪C={i|(i∈A∧i∈B)∨i∈C}A∩(B∪C)={i|i∈A∧(i∈B∨i∈C)}(i∈A∧i∈B)∨i∈C=i∈A∧(i∈B∨i∈C)因为iffCA所以i∈A∨i∈C=i∈A得证：(A∩B)∪C=A∩(B∪C)晓津证明：本题也要进行双向的证明，一个是必要性，一个是充分性，这才能得出当需的结论。证：充分性：若CA则(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)=A∩(B∪C)=右边。必要性：假设C不包含于A内，则C中必有一个以上元素xA，则A∪C≠A可得(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)≠A∩(B∪C)假设与前提矛盾，因此假设不成立，C应当包含于A内。3、证明对任意集合A，B，C，有：a)(A-B)-C=A-(B∪C);证明：(A-B)-C={x|x∈A∧xB}-C={x|x∈A∧xB∧xC}={x|x∈A∧x∈～B∧x∈～C}={x|x∈A∧x∈(～B∩～C)}={x|x∈A∧x∈～(B∪C)}=A-(B∪C)我想，本题也可以直接应用集合运算来做。b)(A-B)-C=(A-C)-B;(A-B)-C={x|x∈((A-B)-C)}={x|x∈A∧xB∧xC}={x|x∈(A-C)∧xB}=(A-C)-Bc)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)(A-B)-C={x|x∈((A-B)-C)}={x|x∈A∧xB∧xC}={x|x∈A∧xB∧xB∧xC}={x|x∈(A-B)∧xB∧xC}={x|x∈(A-B)∧x∈～B∧x∈～C}={x|x∈(A-B)∧x∈(～B∩～C)}={x|x∈(A-B)∧x∈～(B∪C)}={x|x∈(A-B)∧x(B∪C)}(A-C)-(B∪C)(题目是否有误？)晓津证明：(题目并无误)右边=(A-C)-(B-C)=(A∩～C)∩～(B∩～C)=(A∩～C)∩(～B∪C)=(A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C)=((A∩～B)∩～C)∪Φ=(A-B)-C=左边4、设A，B，C是全集E的任意子集。a)若A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C,证明：B=C晓津证明此题如下:证明：由A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C得(A∩B)∩(～A∩B)=(A∩C)∩(～A∩C)(A∩B)∪(~A∩B)=(A∩C)∪(~A∩C)B∩(A∪~A)=A(C∪~C)即B∩E=C∩E因B，C是全集E的任意子集B=C本题的答案感谢kavana提供意见。b)若(A∩C)(B∩C),(A∩～C)(B∩～C),证明：AB由(A∩C)(B∩C),(A∩～C)(B∩～C)得：(A∩C)∪(A∩～C)(B∩C)∪(B∩～C)A∩(C∪～C)B∩(C∪～C)A∩EB∩EA，B，C是全集E的任意子集AB5、设A={φ},B=((A)),问下列各题是否正确？a)φ∈BφB正确b){φ}∈B{φ}B正确c){{φ}}∈B{{φ}}B正确本题由kavana补充：(A)={φ,{φ}}B=((A))={φ,{φ},{{φ}},{φ,{φ}}}。感谢kavana！6、在下面各题中，如果命题为真，请给证明；如果命题为假，则给出反例；a)、A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)晓津证明如下：A∩(B-C)={x|x∈A∧(x∈B∧x∈～C)}={x|x∈A∧x∈B∧(x∈A∧xC)}={x|x∈A∧x∈B∧(x∈A∧x(A∩C))}={x|x∈A∧x∈B∧x(A∩C)}=(A∩B)-(A∩C)b)、(A-B)∩(B-A)=φ(A-B)∩(B-A)={x|x∈AxBxAx∈B}=φ也可以用集合运算证明：原式=(A∩～B)∩(B∩～A)=(A∩～A)∩(B∩～B)=Φc)、A-(B∪C)=(A-B)∪C不成立补充实例如下：设A={1,2,3,4}B={1,5}C={2,6}则A-(B∪C)={3,4}而(A-B)∪C={2,3,4,6}d)、～(A-B)=～(B-A)不成立补充实例：设E={1,2,3,4,5}A={1,2}B={1,3,4}则～(A-B)={1,3,4,5}而～(B-A)={1,2,5}e)～(A∩B)A不成立补充实例如下:设E={1,2,3}A={1,2}B={2,3}则～(A∩B)={1,3}它不包含于A内。f)(A∩B)∪(B-A)=A不成立补充实例如下：A={1,2}B={1,2,3,4}则(A∩B)∪(B-A)={1,2,3,4}≠A7、设A，B，C是任意集，证明：a)(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)证明：(A∪B)-C={x|(x∈A∨x∈B)∧xC}={x|(x∈A∧xC)∨(x∈A∧xC)}=(A-C)∪(B-C)b)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明:A-(B∪C)={x|x∈A∧x(B∪C)}={x|x∈A∧(xB∧xC)}={x|x∈A∧xB∧x∈A∧xC)}=(A-B)∩(A-C)c)、(A-B)∪(A-C)=A,当需A∩(B∩C)=φ时成立。证明:(A-B)∪(A-C)={x|(x∈A∧xB)∨(x∈A∧xC)}={x|x∈A∧(xB∨xC)}={x|x∈A∧x(B∪C)}我怎么觉得：A∩(B∪C)=φ时，(A-B)∪(A-C)=A题目是否出错了？晓津认为：红色的∪其实应为∩，xB或xC应用德摩根律，就是说x(B∩C).以上证明并未证得结论。现证明如下：充分性：若A∩(B∩C)=φ则前提的左边=(A∩～B)∪(A∩～C)=A∩(～B∪～C)=A∩～(B∩C)=A-(B∩C)=A-(B∩C)=A-(A∩(B∩C))=A-Φ=A=右边可得等式成立必要性：若设A∩(B∩C)≠φ则由上面证明可知A-(B∩C)≠A。即前提左边≠A左右不等，因此假设违反题意，不成立。所以必需A∩(B∩C)=φ8、证明：a)、A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)??晓津证明如下：右边=((A∩B)∪(A∩C))∩～((A∩B)∩(A∩C))=(A∩(B∪C))∩～(A∩(B∩C))=(A∩(B∪C))∩(～A∪～(B∩C))=((A∩(B∪C))∩～A)∪(A∩(B∪C)∩～(B∩C))=Φ∪(A∩(B∪C)∩～(B∩C))=A∩(BC)=左边证毕我想，有时候从右边化到左边会更简便些吧。b)、A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)，不一定成立。??晓津证明如下:设有集合A={1,2,3}B={4,5}C={5,6}则A∪(BC)={1,2,3,4,6}且(A∪B)(A∪C)={1,2,3,4,6}左右相等。等式成立。又设有集合A={1,2,3,5}B={4,5}C={5,6}则则A∪(BC)={1,2,3,4,5,6}而(A∪B)(A∪C)={1,2,3,4,6}左右不等，因此证得原式不一定成立。3.3习题答案1、设A={0,1},B={1,2},确定下面集合。a)A×{1}×B={0,1,1,1}×{1,2}={0,1,1,1,1,1,0,1,2,0,1,2}b)A2×B={0,1,0,2,1,1,1,2}×{1,2}={0,1,1,0,1,2,0,2,1,0,2,2,1,1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2}c)(A