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第七章随机控制系统仿真引言7.1概率和随机过程7.2随机控制系统仿真的专门问题7.3MonteCarlo法*7.4伴随系统仿真法按照原则,控制系统可分为确定性系统和随机系统两大类。确定性系统:系统参数、指令、干扰均为已知量随机系统:系统参数、指令、干扰都是随机的随机系统在一定条件下可以简化为确定性系统。如果系统的一次行为不能代表多次运行性能,则该系统不能简化为确定性系统,此时,必须按随机系统进行仿真。多数武器系统为随机系统。引言随机系统仿真的目的是获取状态变量、输出等的统计特性。7.1概率和随机过程一、随机控制系统系统模型:)()()())(()())(()(tCXtytubtBtXatAtX若a、b为零阵,x0为已知确定值,则该系统为确定性系统。若a、b、u(t)、x0均为不确定的,则该系统为随机系统。二、基本概念1、随机事件:可能发生,可能不发生的事件。2、随机过程:随机系统状态变量和输出的变化过程。这是一组曲线。既含有一次实验中x随t变化的过程,也包含多次实验在相同时刻x的值。3、样本函数:随机过程任一条状态变量或输出变量曲线。{xi(t)}Li=1是随机过程。xk(t)、x1(t)是样本函数4、随机变量:某时刻的状态变量或输出变量称为随机变量。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.511.522.5t(s)xi(t),i=1,...Lx1(t)x2(t)xk(t)xL(t)随机过程样本函数随机变量三、连续随机变量的统计特性1、概率密度p(y):每个y值发生的可能性。1)(0)(dyypyp2、概率分布函数:变量值小于或等于y的随机变量的概率。ydyypyP)()(3、均值(一阶矩/数学期望):E(y)dyyypyE)()(E(y1+y2+…+yn)=E(y1)+E(y2)+…+E(yn)4、均方值E(y2)与均方根sqrt(E(y2))dyypyyE)()(225、方差σ2y与方差根σy:表示随机变量偏离均值的程度。方差又称二阶中心矩。σ2y=E(y-E(y))2=E(y2)-E2(y)σ2(y1+y2+…+yn)=σ2(y1)+σ2(y2)+…+σ2(yn)随机系统仿真的目的是获取状态变量、输出等的统计特性。用仿真方法获取随机变量的统计特性时,随机变量只有有限个数值,此时,各统计特性的计算公式为:LiiyLiiLiiyEyLyLyEyLyE1221221)]([111)(1)(均值:均方值:方差:四、典型概率分布1、均匀分布概率密度:p(y)=1/(b-a),a=y=b=0,其他概率分布函数:P(y)=0,y=a=(y-a)/(b-a),ay=b=1,yb均值:E(y)=(a+b)/2,方差:σ2y=(b-a)2/12。aby2、正态分布:自然界中最常见的一种分布。又称高斯分布,钟形分布。]2)(exp[21)(22yymyypσ2y为方差,m为均值。-10-8-6-4-2024681000.020.040.060.080.10.120.14m=0,sigma=3概率密度:33%9922%95%68)()(yyydyypyPy中心极限定理:正态概率分布随机变量可以用无数个任意分布的相互独立的随机变量合成。在工程上,可用10~12个互相独立的均匀分布合成一个正态分布。概率分布函数:五、随机过程的统计特性平稳随机过程:统计特性不随时间变化。各态历经平稳随机过程:一个样本函数的时间统计特性等于随机过程统计特性。常见的随机过程都是各态历经的平稳随机过程,故可用样本函数的统计特性来表征随机过程的统计特性。1、均值:TkTkdttyTtYEtyE0)(1lim)]([)]([yk(t)为样本,Y(t)为随机过程。2、方差:TkkTYydttyEtyTk0222)]}([)({1lim3、自相关函数:衡量随机过程功率强弱的尺度。TkkTYYykdttytyTRttRttR0)()(1lim)()2,1()2,1(反映Y(t1)与Y(t2)的相关性。RY(t1,t2)大,则Y(t)变化平缓,可预见性大,RY(t1,t2)小,则Y(t)变化剧烈,可预见性小。4、功率谱密度(能量谱密度)是RY(t1,t2)的傅氏变换,反映Y(t)中不同频率的能量。deRSyjY)()(5、白色随机过程:最简单的随机过程最理想的随机过程均值:E(yk)=0,方差:σ2,自相关函数:Ry(τ)=σ2δ(τ)功率谱密度:Sy(ω)=σ2,各频率分量能量相等,带宽无限。R()ττσ20S(ω)σ20ω白色随机过程的自相关函数及功率谱密度六、随机过程作用下线性系统的响应1、输入输出的时域关系h(t)x(t)y(t)系统模型为脉冲响应函数h(t)tdtxhty0)()()(y(t)与x(t)为卷积关系均方值:txdRhtyE022)()()]([表明输出的均方值与输入的自相关函数有关tdhtyE0222)()]([对白色随机过程:2、输入输出的频域关系H(j)Sx(ω)ωSy(ω)系统模型为传递函数Sy(ω)=|H(jω)|2Sx(ω)若Sx(ω)=σ2,|H(jω)|2不为常值,则y(t)为有色噪声。例:H(jω)=1/(jωT+1),Sx(ω)=σ2则,y(t)为有色噪声。10-210-110010110200.20.40.60.811.2freq(rad/s)magSx(w)Sy(w)白色随机过程作用下线性系统的频域响应7.2随机控制系统仿真的专门问题随机数产生随机数概率分布的转变随机数概率功率谱密度的转变系统随机参数误差的产生系统随机初值的产生系统随机干扰的产生一、随机数产生产生伪随机数序列=改变概率分布、功率谱密度=加入随机系统=进行仿真1、公式:计算机产生伪随机序列,乘同余法公式:x(i+1)=(λ*x(i))(modμ)其中:λ=2k/2,且λ=8N+/-3,K为字长,N为整数。μ=2n,且0μ2k,n为整数2、特点(1)伪随机序列,周期为μ/4(2)均匀分布,值域:0—2n-13、统计特性(1)概率密度:p(x)=1/μ,0=x=μ=0,x〈0或x〉μ(2)均值:E(x)=μ/2(3)方差:σ2x=μ2/12(4)自相关函数:Rx(τ)=0,|τ|T=μ2(1-τ/T)/12,|τ|=T])(5.0)cos(1[12)(22TTTSx当ω较小时,Sx(ω)近似为常值122T(5)功率谱密度:在ωπ/T频带内,可将随机数序列看作白色随机过程。例:设计算机的字长为32位,用乘同余法产生随机数序列。解:取μ=2^30,N=8192,λ=8*N+3=65539,x(1)=11111。编程序计算随机数序列。运行该程序,得到随机数序列。05001000150020002500024681012x108ix(i)随机数序列560580600620640660012345678910x108ix(i)随机数序列(局部放大)令随机数产生周期为T=0.01s,画出其时间曲线,如下图。02468101214161820024681012x108tx(i*T)6.16.26.36.46.56.66.76.86.977.10246810x108tx(i*T)随机数的时间曲线随机数的时间曲线(局部)00.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02012345678910x1016Rx()乘同余法产生的伪随机序列的自相关函数由图可知,τ=0时,Rx(τ)最大,为9.6077e+016,即:μ2T/12τT时,Rx(τ)=0其自相关函数的最大值为:Rx(0)=μ2T/12=9.6077e+016τ0.01时,Rx(τ)=0乘同余法产生的伪随机序列的功率谱密度功率谱密度:Sx(0)=μ^2*T/12=9.607679205057059e+014低频时,Sx(ω)近似为常值。T越小,为常值的频带越大。100101102103104012345678910x1014freq(rad/s)Sx(w)2*T/12=9.607679205057059e+014二、随机数概率分布的改变多数情况下需要将均匀分布改为正态分布。中心极限定理:正态概率分布随机变量可以用无数个任意分布的相互独立的随机变量合成。在工程上,可用10~12个互相独立的均匀分布合成一个正态分布。1、产生值域为(0,2k-1)的均匀分布随机数序列{x1(i)}。2、将该序列标称化,值域变为(0,1)方法:x1(i)*1/(2k-1)3、均值移位,值域变为(-0.5,0.5)方法:x1(i)-0.5此时,E(x)=0,σ2x=1/12重复1-3步,产生n个不相关的均匀分布随机数序列,记为{x2(i)}、{x3(i)}……{xn(i)}。4、用上述n个不相关的均匀分布随机数序列构成一个正态分布随机数序列。序列1:x11,x21,……xm1序列2:x12,x22,……xm2...序列n:x1n,x2n,……xmnniixx111一般,取n=12,则合成的随机数序列E(x)=0,σ2x=1niixx122nimimxx1……合成:x1,x2,……xn三、随机数功率谱密度的改变利用线性系统做成形滤波器H(j)Sx(ω)ωSy(ω)Sy(ω)=|H(jω)|2*μ2T/12,其中,Sy(ω)为需要的功率谱密度,μ2T/12为伪随机序列的功率谱密度。则根据Sy(ω)可求出线性系统的频率特性H(jω)。四、仿真中一些随机参数的产生1、参数误差及随机初值的产生二者均为正态分布,所给参数为最大允许误差ΔA。任务:根据最大允许误差产生随机参数误差或随机初值序列。分析:由正态分布的性质,一般认为最大允许误差ΔA=4σ,σ为随机序列的方差根。即:随机序列的方差为(取等号情况):σ2=(ΔA/4)2(1)若产生12个值域为(-b,b)的独立的均匀分布随机序列,其方差均为σ2=b2/3则合成后所得正态分布序列的方差为σ2=4b2(2)考虑(1)式,则有b=ΔA/8即:所产生的均匀分布序列的值域为(-ΔA/8,ΔA/8)2、随机干扰的产生随机干扰既要求概率统计特性,又要求频谱特性。一般认为随机干扰的频谱可通过实测或分析得到,即是已知的,故可通过下述方法产生随机干扰。第一步,产生白色随机过程(在一定频带内)。第二步,根据随机干扰的频谱设计成形滤波器。第三步,将白色随机过程作用于成形滤波器,得到有色随机过程。7.3MonteCarlo法适用于线性或非线性随机系统仿真,使用时限制条件少,但仿真工作量大。通过对仿真所得数据进行处理得到系统状态变量和输出的统计特性。蒙特卡罗方法的基本思想二十世纪四十年代中期,由于科学技术的发展和电子计算机的发明,蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来,并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖,人们在生产实践和科学试验中就已发现,并加以利用。两个例子例1.蒲丰氏问题例2.射击问题(打靶游戏)基本思想例1.蒲丰氏问题为了求得圆周率π值,在十九世纪后期,有很多人作了这样的试验:将长为2l的一根针任意投到地面上,用针与一组相间距离为2a(l<a)的平行线相交的频率代替概率P,再利用准确的关系式:求出π值其中N为投计次数,n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。alP2)(22nNalaPl一些人进行了实验,其结果列于下表:实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)19013408
本文标题:第七章随机控制系统仿真2015.
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