第三章,图像变换.

第三章图像的变换处理22:25第三章图像的变换处理3.1频域世界与频域变换3.2傅立叶变换3.3频域变换的一般表达式3.4离散余弦变换3.5离散沃尔什哈达玛变换3.6用MatrixLIBC++库实现图像变换的VC++编程3.7小波变换简介第三章图像的变换处理22:253.1频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和(a)(b)(c)(d)第三章图像的变换处理22:25正弦波的振幅A和相位φ初相位振幅A基本正弦波(A＝1,＝0)角频率OA第三章图像的变换处理22:25（a(a)幅频特性；(b)相频特性AOfOf(a)(b)第三章图像的变换处理22:25时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：)(),()(ffAff正变换逆变换为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此上式可用复数表示为)()(fFff正变换逆变换完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。第三章图像的变换处理22:253.2傅立叶变换3.2.1若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。第三章图像的变换处理22:25则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对的定义为dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()]([)()()]([(3.2.1)(3.3.2)式中：，x称为时域变量，u1j第三章图像的变换处理22:25以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为dudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),()],([),(),()],([(3.2.9)(3.2.10)式中：x,y为时域变量；u,v为频域变量。第三章图像的变换处理22:253.2.2要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为第三章图像的变换处理22:25NuxjNxNuxjNxeuFNxfuFFexfuFxfF/2101/210)(1)()]([)()()]([(3.2.17)(3.2.18)式中：x，u=0，1，2，…,N－1。注：上式中的系数1/N放在二试子之一即可，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。N/1第三章图像的变换处理22:25由欧拉公式可知sincosjej可得102sin2cos)()(NxNuxjNuxxfuF(补充)可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。第三章图像的变换处理22:25通常傅立叶变换为复数形式，即)()()(ujIuRuF式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式：F(u)=|F(u)|ejφ(u)其中)()(arctan)()()(|)(|22uRuIuuIuRuF(3.2.6)(3.2.8)第三章图像的变换处理22:25通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，φ(u)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为)()(|)(|)(222uIuRuFuE考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为)(210101)(21010),(1),()],([),(),()],([NvyMuxjNvMuNvyMuxjMxNyevuFMNyxfvuFFeyxfvuFyxfF(3.2.20)(3.2.21)第三章图像的变换处理22:25式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y为时域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1／MN即可。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为MN/1),(),(),(),(),(arctan),(),(),(|),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。第三章图像的变换处理22:253.2.3二维离散傅立叶变换的性质第三章图像的变换处理22:25第三章图像的变换处理22:251.由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果。显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。用两次一维DFT计算二维DFTf(x,y)F(x,)F(u,)按行进行一维DFT按列进行一维DFT第三章图像的变换处理22:252.平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。下图是简单方块图像平移的结果。(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱(a)(b)(c)第三章图像的变换处理22:253.旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)第三章图像的变换处理22:253.3频域变换的一般表达式3.3.1可分离变换二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：10101010),,,(),(),(),,,(),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxgyxfvuF(3.1.1)(3.1.2)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。第三章图像的变换处理22:25如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v)h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。二维傅立叶变换对是上式的一个特殊情况，它们的核为NvyjMuxjNvyMuxjeeevuyxg222),,,(NvyjMuxjNvyMuxjeNeMeMNvuyxh222111),,,(第三章图像的变换处理22:25可见，它们都是可分离的和对称的。如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现，即可先对f(x,y)的每一行进行一维变换得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一维变换得到变换结果F(u,v)。对于其他的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样也可用两次一维变换来实现。如果先对f(x,y)的每一列进行一维变换得到F(y,u)，再沿F(y,u)每一行取一维变换得到F(u,v)，其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。第三章图像的变换处理22:253.3.2图像变换的矩阵表示数字图像都是实数矩阵，设f(x,y)为M×N的图像灰度矩阵，通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式：F=PfQF=P-1FQ-1其中，F、f是二维M×N的矩阵；P是M×M矩阵；Q是N×N矩阵。1010),(),(),(),(NyMxvyQyxfuxPvuF(3.1.3)(3.1.10)(3.1.9)式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1第三章图像的变换处理22:25对二维离散傅立叶变换，则有NvyjMuxjevxgvyQeuxguxP/22/21),(),(),(),(实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等，下面将对常用的变换作一简要介绍。