第三章习题答案1

数字信号处理学习拓展3－13－1画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211zzzzzzzH级联型网络结构。解：)(nx)(ny1z1z1z20.25-0.379-1.245.2644-0.53－2画出112112(23)(465)()(17)(18)zzzHzzzz级联型网络结构。解：()xn()yn21z731z1z46853－3已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322zzHzzzz，试画出其并联型网络结构。解：将系统函数()Hz表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()Hz11122111111322zzzz由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：数字信号处理学习拓展3－2()yn()xn21z1z1z1/21/31/211题3-3图3－4已知一FIR滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)Hzzzz，画出该FIR滤波器的线性相位结构。解：因为121123()(10.70.5)(12)11.30.9Hzzzzzzz，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()yn()xn10.911.31z1z1z题3-4图3－5已知一个FIR系统的转移函数为：12345()11.252.752.751.23Hzzzzzz求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB画出其零点分布及其频率响应曲线。解：由转移函数可知，6N，且)(nh偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1z为系统的零点。而最高阶5z的系数为+1，所以1z为其零点。)(zH中包含11z项。所以：11()()(1)HzHzz。1()Hz为一四阶子系统，设12341()1Hzbzczbzz，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25Hzzzzz，得出系统全部零点，如图3-5（b）所示。系统流图如题3-5（a）图所示。数字信号处理学习拓展3－3)(nx)(ny1z1z1z1z1z25.1175.2125.175.2题3-5（a）图MATLAB程序如下，结果如题3-5（b）图所示：b=[11.25-2.75-2.751.251];a=[1];figure(1)zplane(b,a);figure(2);OMEGA=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H));subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H)));题3-5（b）图3－6给定26()1(164)Hj，确定模拟滤波器的系统函数()Hs。解：根据给定的平方幅度响应，得262311()1641()0.5Hj与221()1()NcHj比较，得到3,0.5cN。取左半平面的三个极点，得数字信号处理学习拓展3－412623，极点111(cossin)csj；222，极点222(cossin)ccsj；因此由()()NckkHsss，得3123()()()()cHsssssss对共轭极点1s，3s有2213111()()()()2cosccssssssssss代入上式，得20.125()(0.5)(0.50.25)Hssss3－7模拟低通滤波器的参数如下：3dBp，25dBs，25Hzpf，50Hzsf，用巴特沃斯近似求()Hs。解：已知3dBp，25dBs，25Hzpf，50Hzsf，确定巴特沃斯滤波器的阶数如下：0.10.1250.10.13101101250lglg()lglg()101225101spspN2.50.310150lglg()4.1510125取5N。本题由于p正好是3dB，故低通滤波器的3dB截止频率为：222550157()cppfrads或者，由下式来求取c。110.10.13210225157()(101)(101)ppcNrads将c代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数数字信号处理学习拓展3－554321()()3.236()4.236()4.236()3.236()1cccccHssssss1159494634211.048105.326105.326101.095101.719100.0211ssssss3－8已知1()1/acHss，使用脉冲响应不变法和双线性方法分别设计数字低通滤波器，使得3dB截止频率为c=0.25。解：（1）双线性变换法：3dB截止频率为c=0.25，20.250.828tan()2cTT于是1()1/0.828aHssT11112111()()1(2/0.828)[(1)(1)]azsTzHzHszz=0.292011110.4159zz参数T不参与设计（2）脉冲响应不变法：3dB截止频率为c=0.25，20.250.828tan()2cTT于是1()1/0.828aHssT0.828/0.828/TsT因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：1111lpTlspez所以0.828/10.82810.828/0.828/()11TTTTHzezez3－9用脉冲响应不变法将()Hs转换为()Hz，采样周期为T0()()mAHsss，其中m为任意整数解：0-11()()()(1)!snTmAhtHsetutmL01()()()(1)!msnTmAThnThnTneunm数字信号处理学习拓展3－60011111101()()(1)(1)!(1)!1mmmsnTmnmmsTmnATATdHzhnnezzmmdzezL上式递推可得：000111,11(),2,3,(1)sTsTmsTmATmezHzATezmez3－10要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于0.2613的范围内，低通幅度特性为常数，并且不低于0.75dB，在频率0.4018和之间，阻带衰减至少为20dB。试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数)(zH，采用双线性变换。解：令2()aHj为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，2tan(/2)T若1T，故我们要求0.261320lg(2tan())0.7520.401820lg(2tan())202aHjHaj因此巴特沃斯滤波器的形式为：221()1(/)aNaHj所以20.075222tan(0.1306)1()102tan(0.2009)1()10NcNc因此：20.0751lg[(101)/(101)]2lg[tan(0.2009)/tan(0.1306)]N1lg[99/0.1885]220.136160.3615312.720336.0352520.22537指标放松一点，可以取6N，代入上式得数字信号处理学习拓展3－72621/122tan(0.2009)1()102tan(0.2009)990.9967ccc对于这个0.9967c值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在s平面左半部由三个极点对，其坐标为1()2(1)cjNps。极点对1：0.25790.9627j；极点对2：0.70470.7047j；极点对3：0.96270.2579j。于是2220.9804()(0.51580.9933)(1.40940.9933)(1.92560.9933)aHsssssss以112(1)/(1)szz代入上式，最后可得16120.0044(1)()11.09150.8127zHzzz121210.86910.443410.93920.5597zzzz3－11试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3通带频率范围内，通带幅度波动小于1dB，在0.5阻带频率范围内，阻带衰减大于12dB。解：由题意可以得出：p＝0.3rad,p＝1dBs＝0.5rad,s＝12dB（1）频率预畸变p＝22ptgT＝15.02tgT＝1.019/Trad/ss＝22stgT＝25.02tgT＝2/Trad/s（2）确定滤波器阶数：spk＝1101101.01.0sp＝1101102.11.0＝0.1321sp＝ps＝TT019.112＝1.9627N＝－spspklglg＝－9627.1lg1321.0lg＝3.002，取N＝3数字信号处理学习拓展3－8（3）查表求归一化低通滤波器函数)(pHa＝122123ppp（4）求模拟滤波器系统函数110.10.1261.0191.2764(101)(101)pNcpTT（/rads）)(sHa＝)(pHacsp|＝3322322ccccsss332222.07932*1.27642*1.27642.0793sTTsTs(5)求系统函数)(zH将112(1)(1)zsTz代入得：)(zH=1231230.07660.23270.23270.076610.80040.50400.6799zzzzzz3－12用双线性变换法设计数字低通滤波器，等效模拟滤波器指标参数如下：输入模拟信号)(txa的最高频率100Hdfz；选用巴特沃斯滤波器，3dB截止频率100Hcfz，阻带截止频率150Hsfz，阻带最小衰减s20dB。解：（1）因为采用双线性变换法设计，数字频率与相应的模拟频率之间为非线性关系2tan2T。但采样数字滤波器要求其中的数字滤波器)(jweH与总等效模拟滤波器)(jHa之间的频率映射关系为线性关系＝T。所以，不能直接按等效模拟滤波器技术指标设计相应模拟滤波器)(sHa，再将其双线性变换法映射成数字滤波器()Hz。因此，我们必须按)(jweHkTjHkTjjHkaTka22/－＝＝将等效模拟滤波器指标参数转换成采样数字滤波器系统中数字滤波器指标参数，再用双线性变换法的一般步骤设计该数字滤波器。通带边界频率：p＝Tfp2＝4001002＝rad2；通带最大衰减：p＝3dB阻带截至频率：s＝Tfs2＝4001502＝rad43；阻带最小衰减：s＝20dB以下为双线性变换法设计数字滤波器的一般过程。（2）预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标参数：数字信号处理学习拓展3－9p＝2tan2pT＝8004tan＝800srad/，p＝3dBs＝2tan2sT＝80083tan＝1931.37srad/，s＝20dB（3）确定滤波器阶数N：spk＝1101101.01.0sp＝11011023.0＝0.1003sp＝ps＝80037.1931＝2.414N＝spspklglg＝414.2lg1003.0lg＝2.609取N