第三章函数的应用.

第三章函数的应用•函数与方程•函数模型及其应用知识体系网络y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点。即f(x)=0的解。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点（一）函数的零点与方程的根1.若函数)1,0()(aaaxaxfx且有两个零点,则a的范围是2.函数xxflg，有ba0且22bafbfaf○1求a、b满足的关系式；○2证明：存在这样的b，使得43b.3.设函数1,11,11)(xxxxf,若关于x的方程0)()(2cxbfxf有三个不同的实数解321,,xxx,则232221xxx专题探究精讲函数零点的应用及零点的判断例1函数零点，即使f(x0)＝0的点的横坐标x0.通常零点两侧的函数值异号(不变号零点无此性质)，根据此性质和函数解析式可以列出不等式，求有关参数的取值范围．已知函数f(x)＝x2－5x＋m的两个不等的零点都在1的右侧，求m的取值范围．【思路点拨】f(x)的两个不等零点都在1的右侧，即方程f(x)＝0的两根都大于1，因此可根据根的分布解决．【解】∵f(x)＝0的两个根都大于1，∴Δ＝－52－4m＞0f1＝1－5＋m＞052＞1，即4＜m＜254.结论如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。xy0ab..零点存在定理(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：(2)f(a)·f(b)0函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布一般情况两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxkkk02()0bkafk02()0bkafk一个根正，一个根负f(k)0f(0)0,正根大f(0)0且02ba一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布一般情况两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(m,n)x2∈(p,q)两个根都在（k.k)内21yxkk12kk12mnpq121202()0()0bkkafkfkf(k)f(k)012()0()0()0()0fmfnfpfq对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).,ab0fafbyfxfx二分法概念xy0ab用二分法求方程近似解的步骤:,给定精确度；⑴确定区间[a,b],验证()()0fafb⑵求区间(a,b)的中点；1x⑶计算1()fx①若f(1x)=0，则1x就是函数的零点；②若1()()0fafx，则令b=1x(01(,)xax)；此时零点③若1()()0fxfb，则令a=1x(此时零点01(,)xxb)；⑷判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷总结提炼选初始区间取区间中点中点函数值为零结束是定新区间否区间长度小于精确度否是现实生活中的线路断路、地下管道堵塞、水管泄漏等故障，我们都可以采用二分法进行排查，从而顺利解决．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何才能迅速查出故障所在？【思路点拨】依据二分法原理，将AB逐渐取中点，查出故障处．二分法的实际应用例2【解】如图，工人师傅首先从中点C查起，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；再取BC段中点D，若发现BD段正常，则断定故障在CD段；再取CD段中点E，…每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，查7次可以把故障可能发生的范围缩小到50m～100m之内，从而查出故障的大致位置，最终查出故障所在．【名师点拨】在实际生活中可依据电线杆为分点进行二分法查找．（二）函数模型及其应用•不同增长的函数模型•函数模型应用实例通过本章的学习，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型．函数的实际应用某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：例1投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．【思路点拨】画散点图→建拟合函数→待定系数法求拟合函数→求最值→结果→翻译成实际意义【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得0.25＝k＋b1＝4k＋b，解得k＝0.25b＝0，所以y＝0.25x.即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么xA＋xB＝12，W＝yA＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25xB.所以W＝－0.15(xA－196)2＋0.15×(196)2＋2.6.当xA＝196≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．【名师点拨】根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题，这是本节新的解题思路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他数据点，观察结果的差异．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．练习1【思路点拨】令函数gx＝mx2＋2m＋3x＋2m＋14→分m＞0，m＜0讨论→列出关于m的不等式→求得m的范围【解】令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得m＞0f4＜0，或m＜0f4＞0，即m＞026m＋38＜0或m＜026m＋38＞0，解得－1913＜m＜0.【名师点拨】解答本题易丢掉对m的讨论，只默认为m＞0.互动探究2若上述方程有且只有一个实根，求m的值．解：当m＝0时，6x＋14＝0，∴x＝－73，适合题意；当m≠0时，Δ＝4(m＋3)2－4m(2m＋14)＝0，即m2＋8m－9＝0，∴m＝－9或m＝1.∴当m＝0或m＝－9或m＝1时，方程仅有一个实根．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()练习2【思路点拨】根据二分法的概念求解．【解析】当且仅当函数f(x)在区间[a，b]上连续且f(a)·f(b)＜0时，才能用二分法求其零点．观察函数的图象知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件，故选C.【答案】C【名师点拨】若函数图象只位于x轴上方或下方或者图象间断，都不能用二分法求零点．截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．【思路点拨】解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题．练习3【解】(1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿).经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿).经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿).…∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位．∴{x|x∈N*}是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.∵1＋1%＞1,13.56＞0，∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要增长率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．【名师点拨】本题易把定义域认为是R，错因是忽视了自变量的实际意义．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x20≤x≤40080000x＞400.其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)练习4【思路点拨】根据实际生活中利润＝总收益－总成本列出等量关系．【解】(1)设每月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－200000≤x≤40060000－100xx＞400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＜25000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．分段函数型的函数最值问题的应用．【名师点拨】在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等，本题是