第三章动量和角动量.

第三章动量与角动量§3.1冲量与动量定理§3.2动量守恒定律§3.4质心§3.5质心运动定理§3.6质点的角动量和角动量定理§3.7角动量守恒定律§3.8质点系的角动量定理§3.1冲量与动量定理1、动量（momentum)和冲量(Impluse)vmp•动量：物体质量和速度的乘积也即动量与物体的惯性属性m和瞬时速度v相关，因而即是瞬时量也是矢量，是与运动相关的量。FF•冲量：在力的作用时间t1~t2过程中，力在时间t1~t2内的对时间的积分称为力冲量，单位是牛顿∙秒或N∙s，是与作用过程相关的量。2、动量定理动量定理的微分形式动量定理的积分形式21pp2211tptpIFdtdp22dtrdmdtvdmamF前面讲述了牛顿第二定律，其表达形式如下：牛顿第二定律为一瞬时关系，通过变换写成微分形式则有：dtpd动量形式有限时间内，始1(initial)--末2(final)pddtF质点动量定理的物理意义：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量等与质点在此时间间隔内的动量增量。说明：合外力的冲量方向和质点的动量增量的方向一致，但不一定和质点的初动量和末动量的方向相同。21ppp2211tptpIFdtdp力的时间积累效应取决于力的大小和作用时间，是二者共同作用的结果。所以说很大的力在短时间内和很小的力在较长的时间内都可以产生较为可观的动量变化效果。动量定理的分量式：21xxpp21yypp21zzpp21txxtIFdt21tyytIFdt21tzztIFdt冲量定理在的每一坐标分量方向上都成立。2121pptt冲力对碰撞时间的平均。3、平均冲力2121ttFdtFtt动量定理结果物体在碰撞瞬间内的相互作用称为冲力冲力：冲力的特点：作用时间极短，而力的大小变化极大，所以一般使用平均冲力概念，其定义如下：F0tt1t2tF进一步解释：从上式中我们可知，如果前后动量变化相同，则作用时间越短则冲力越大，反之则冲力越小。这在生产生活中有着多方面的应用，如缓冲装置延长力的作用时间从而减少冲力等等。也就是我们可以根据碰撞前后的动量增量及其作用时间求出平均冲力。这在热学分子运动论中气体压强的计算以及量子光学中光子光压的计算中将会用到。例1：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率：3628922..ghv（m/s）2220.586.33.8100.019mvFt(N)例2：如图所示，弹性小球质量m=0.02kg,速度v=5m∙s-1，与墙碰撞后弹回的速度大小不变，碰撞前后速度方向与墙面法线夹角都为α=60°，碰撞时间Δt=0.001s，求球对墙的平均冲力。Oαα1v2vzy解：建立如图所示的坐标系，对小球按动量定理列出如下分量式：yyyzzzmvmvtFmvmvtF1212sincoscos1221vvvvvvvyyzz由题意可知：0n.0sinsincos2mvmvtFmvtFyz0cos2yzFtmvF进而可得：根据牛顿第三定律，从墙对球的冲力可以求出球对墙的平均冲力：0cos2yyzzFFtmvFFhxO例3：如图所示，汽锤质量为m=2t，由h=1m高处自由下落，达到工件上后经Δt=10-4s速度为零，试求：(1)汽锤所受合力的冲量；(2)工件所受锤作用的平均冲力N。解法一：分两步过程进行讨论（1）汽锤刚与工件接触时ghvx21经Δt后,02xv由动量定理可知，汽锤所受合力的冲量为：sNIghmghmmvmvppIxxxxxx331212108.818.921022)2(0方向向上。.（2）因锻件质量及受力情况不明，因此以汽锤为研究对象。在Δt时间内，汽锤受到重力W和平均反冲力的N的作用，因此汽锤所受冲量可表示成合力与作用时间的乘积，也即：tmgNtNWIxxx)()(由此求出：NmgtINx7108.8工件所受平均冲力与汽锤所受平均冲等值反向，所以方向向下，大小WN解法二：我们讨论从落下开始到速度在此变为零整个过程应用动量定理。因为始末速度为零，所以始末动量也为零，因此动量增量Δp=0。冲力作用时间为Δt，汽锤下落时间为ght21，所以重力作用时间为t1+Δt，对此过程应用动量定理可得：0)(1pttmgtN故而：tImgtghmmgttmgNx2)1(1例4：逆风行舟龙骨Vvvmvupfpipf||ff龙骨Vv例5：质量为m的垒球以v的速率沿水平飞向击球手，被击后以相同速率沿θ的仰角飞出，求垒球受棒的平均打击力。设球和棒的接触时间为Δt。1、用分量式求解解：2、直接用矢量式求解1vxyθ2vαxFFyF1、tθmvsintvmθmv)(costppFxxx12tmvmvxx12tpFyy02tmvy02xv2xv2θ2vxyFFαtan2、αmvcos2此撞击力约为垒球自重的数千倍。1vmθtFmvmvmv122cos2tmvF22yxFFF22vmαθmvtFsinsinαxFFyFα2cos2tmv●●●●●●●●●●●§3.2动量守恒定律由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系（组）。系统内各质点间的相互作用力称为内力，总是成对出现。系统外物体对系统内任意质点作用力称为外力。iFimjmif合iF对每个质点应用牛顿运动定律：dtpdiiiiijijFfFf对所有质点（N个）求和Niipdtd1NijiijNiifF11dtpdNii1ijfjifipFFNii1其中：ppNii1Nijiijf1Fdtdp——质点系的动量定理系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。Niipdtd1NijiijNiifF11dtpdNii1是系统所受合外力系统内质点所受内力之矢量和0系统在某一时刻的总动量说明内力对系统总动量无贡献！例：一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下段与地面接触，让绳子从静止开始下落，求下落长度剩为z时，地面对这根绳子的作用力。L解：方法一：连续碰撞。设t时刻已有L-z长的链条落在地上。随后的dt时间内将有dz的链条以v的速率碰到地上而静止。mdmdzLdzvdt地面对这小段链条的冲力为F碰撞，动量定理()0Fgdmdtvdm2dmmdzmFvvvdtLdtLL-zz（忽略二次微分项）2dmmdzmFvvvdtLdtL2()dzvgLzdt2()mgLzFL已落到地面上的链条的重量所造成的地面对绳子的作用：()mWgLzL所以地面对绳子的作用力为：3(1)zfFWmgL解：方法二：将绳子看成质点系。200112zzcmzzzdmzdzmmLLccdzzdzzvvdtLdtL绳子上端作自由落体运动：2()dzvgLzdtgdtdv23()2(1)2ccdvdvzvzdvzzgzgaggdtdtLLLdtLLL质心运动定理：3(1)czfmgmamgLL-zzLL-zz二、动量守恒定律常矢量——动量守恒定律分量式：常量ixiixvmp常量iyiiyvmp常量iziizvmpiiiiivmpP,0时当xF,0时当yF,0时当zF质点系所受合外力为零（）时，这一质点系的总动量不随时间改变。0F23[例2]如图，一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M，停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体m滑到底时，大物体M在水平面上移动的距离。24解:如图，系统水平方向动量守恒。对上式积分，有：V以和分别表示下滑过程中任一时刻m和M的速度，则应该有)(0VMmx即：MVmxttxtVMtm00dd25MSmsRMmmS以s和S分别表示m和M在水平方向移动的距离，则有ttxtVSts00d,d因而有又可得SRs2.外力与内力相比小很多时，动量也守恒；1.合外力沿某一方向为零，则该方向总动量守恒；3.动量守恒定律只适用于惯性系；4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律。动量守恒和空间平移对称性一个物理系统沿空间某方向平移一个任意大小的距离后，它的物理规律完全相同，这个事实叫做空间平移对称性或空间平移不变性，也叫做空间的均匀性。空间各点对物理规律是彼此等价的。孤立系统的质心速度不变，这正是动量守恒定律。炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸前后，可认为动量守恒。例:一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。即：解：3322110vmvmvm这三个动量必处于同一平面内222211233)()()(vmvmvmm3v3mmmmm2,321sm/2.213030212200135180θαm1v1m2v22221321vvvyxz§3.4质心N个质点系统，可定义质量中心—质心mrmNiii1mi1、质心位矢与坐标系的选择有关。2、质点系内各质点相对位置不因坐标系的改变而改变。3、质心相对于质点系的位置不因坐标系的改变而改变。ircrC注意：4、质量均匀的规则物体的质心在几何中心。NiiNiiiCmrmr11mzmzNiiiC1利用质心位矢沿直角坐标系各坐标轴的分量，可得质心坐标表示式如下：mxmxNiiiC1mymyNiiiC1例：任意三角形每个顶点有一质量为m的质点，求质心。oxy（x1，y1）（x2，0)321xx31ymmxmxxC321mmyyC31解：建立如图的直角坐标系●●●对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元mzdmzCdmrcrCdmdmrrCmxdmxCmydmyC分量式：对质量连续分布的物体：线分布：lmdd面分布：Smdd体分布：Vmdd如λ、σ和ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。mdmr例：一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半圆形铁丝的质心。由于半圆对y轴对称,所以质心应该在y轴上。mydmyCλRπRλ22RπyC2RCyxyθd解:设铁丝质量的线密度为λ则：θRddl做为质量元,sinθRymθRdλθRyπC0sindldldm在铁丝上取一线元dlmdly例:求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。a32dxσx2因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。解：以此分角线为x轴，作坐标轴如图yxOa在离原点x处取宽度为dx的面积元，设薄板质量的线密度为σ则：其面积ydxdS2xdx2dSσdmmxdmxC4sin4cos22122/202aadxxaxdxxyOz例：确定半径为R的均质半球的质心位置。建立如图所示坐标系取厚度为dy的薄圆盘为质量元dymmyyCdRy已知薄圆盘的质心位于圆心，解：dVρmd3/2d)(3022RyyRyR304224)2/(3RyyRR83R质心在距球心3R/8处dyyRπρ)(22rdyrπρ2质心参考系0rrriic'mi系统的质心在其中静止的平动参考系称为质心系。一般把质心