第三章水动力学理论基础(新).

第七讲水力学描述液体运动的方法及欧拉法的若干基本概念水静力学重要内容回顾静水压强的两个重要特性水静力学的基本方程平面静水总压力计算方法曲面静水总压力计算方法2211pzpzhpp0CCCDyJyy水动力学理论基础第三章本章要求1、基本概念：非常多：①理解拉格朗日系和欧拉系②流场：恒定流、一元流、均匀流特点；③流线、迹线、流管④元流、总流、过水断面（对象）⑤流量、断面平均流速⑤湿周、水力半径⑥测压管水头线、动能水头线、总水头线、水力梯度本章要求2、基本定律：①连续性方程②能量守恒方程；③动量方程本章纲要：第一节描述液体运动的两种方法第二节欧拉法的几个基本概念第三节恒定一元流的连续性方程第四节理想液体及实际液体恒定元流的能量方程第五节实际液体恒定总流的能量方程第六节总水头线和测压管水头线的绘制第七节实际液体恒定总流的动量方程关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的各种力之间的关系。水静力学关于液体运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等。水动力学第一节描述液体运动的两种方法液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质怎样描述整个液体的运动规律呢？一、拉格朗日法以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点，研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。质点系法图拉格朗日法zxyOabct0Mxyzt设某一液体质点在t0时刻占据起始坐标（a，b，c），在t时刻质点运动到空间坐标（x，y，z）（a，b，c，t）=拉格朗日变量),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx以起始时刻的坐标来区分质点，作为质点标签。质点运动的轨迹线就叫迹线对于同一质点，（a,b,c）是不随时间变化的，而对于不同的质点，起始坐标各不相同。),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx问题：由运动坐标如何求质点运动的速度和加速度？对上式求导，得到某质点任意时刻的速度对速度求导，得到某质点任意时刻的加速度txuxtyuytzuz22txax22tyay22tzaz得到组成流场的典型质点的运动规律因此，除在波浪运动中，实际工程中多采用欧拉法。问题每质点运动轨迹复杂，跟踪每个液体质点研究其运动规律，存在很大的困难。实用上，不需要知道每个液体质点的运动规律。二、欧拉法以固定空间点为研究对象，研究流场中某些固定空间点上的运动要素随时间的变化规律，而不直接追究给定质点在某时刻的位置及其运动状况。流场法在流场中取固定空间点（x,y,z），在t1时刻，位于该空间点的质点为M1，该质点的流速为u1，压强为p1，在t2时刻，位于该空间点的质点为M2，该质点的流速为u2，压强为p2，欧拉法的实质是不追究位于该空间点的质点是M1或M2，只关心反映在该空间点上的运动要素的变化规律。采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（x,y,z）和时间t的函数。（x,y,z,t）=欧拉变量（ux,uy,uz）=通过固定点的流速分量),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx假如某一质点在t时刻占据的空间坐标为（x,y,z），则其运动要素可表示为空间坐标和时间的函数。当（x，y，z）给定，t为变量时，得到：同一固定空间点上，不同液体质点在不同时刻通过该点的流速变化（x，y，z）为变量，给定时刻：如t=t0时刻：同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx比较(a,b,c):质点起始坐标(x,y,z):质点运动的位置坐标t:任意时刻(a,b,c,t):拉格朗日变量(x,y,z):空间固定点t:任意时刻(x,y,z,t):欧拉变量拉格朗日法欧拉法拉格朗日法欧拉法着眼于液体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性是描述液体运动常用的一种方法。在欧拉法中，如何求质点运动的加速度？注意：质点在运动过程中，不同时刻占据不同的空间点，以此x,y,z不是独立变量，而是t的函数。),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx物体的运动是绝对的，欧拉法和L法描述同一运动应该是等价的。即两个场的描述可以相互转换；转换的方法-自变量的基本公式；在欧拉法中，如何求质点运动的加速度？利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzzzuuyuuxuutuxzxyxxx),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则有加速度分量的表达式zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),,,(dd),,,(dd),,,(d＝当地加速度迁移加速度迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度当地加速度（时变加速度）同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度从欧拉法来看，加速度分为用欧拉法描述液体运动时，质点加速度是当地加速度和迁移加速度之和。同一时刻，沿射流抛射轨迹，不同位置处的流速不同，因此，沿抛射轨迹，有迁移加速度。t0U0u1u20suuss落地水流流速方向和大小随时间变化有当地加速度。t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小随时间变化举例第二节欧拉法的几个基本概念一、恒定流与非恒定流若流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化，称为恒定流；否则，称之为非恒定流。恒定流中，一切运动要素只是空间位置坐标的函数而与时间t无关。恒定流的当地加速度为零，但迁移加速度可以不为零。00tptututuzyx若水箱中的水位不恒定，管中各点的运动要素随t变化，为非恒定流；若补水使水箱中的水位恒定，则管中水流可为恒定流。水库水库t0时刻t1时刻迹线是液体质点运动的轨迹线，是与拉格朗日观点相对应的概念二、流线与迹线流线是流速场的矢量线，是指某一瞬时，在流场中绘出的一条光滑的矢量曲线（或直线），其上所有各点的速度向量都与该线相切。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描述。流线簇272s1s3s(M1)(M2)(M3)(M4)2828流线绘制方法如下：设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1，在这个向量上取与A1相距为的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1A2A3A4……，若让所取各点距离趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。2s1s3ss①一般情况下，流线不能相交，且流线只能是一条光滑的曲线或直线。②流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场的流谱。③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时间发生变化，且流线与迹线重合。④对于不可压缩液体，流线的疏密程度反映了流场中各点的速度大小，流线密的地方流速大，反之，流速小。流线的特性：否则在交点或非光滑处存在两个切线方向，这意味着同一时刻、同一质点具有两个运动方向，显然是不可能的。原因30流线方程zyxudzudyudx迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一液体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格朗日观点对应);流线是同一时刻、不同液体质点速度矢量与之相切的曲线(与欧拉观点相对应)。问题：流线与迹线的区别？三、流管、元流、总流、过水断面、流量、断面平均流速在流场中画出任一封闭曲线L，它所围的面积无限小，经该曲线上各点做流线，这些流线所构成的管状物称为流管。L流管流线1.流管因流线不能相交，∴流体不能穿越管壁2.元流（微小流束）充满流管的一束液流。∵元流的面积很小，∴同一断面上各点运动要素相等。3.总流由无数个元流组成的具有一定大小尺寸的实际液流。4.过水断面与元流或总流的流线正交的横断面，有时是平面，有时是曲面。被液体湿润的固体边界称为湿周。过水断面积与湿周之比称为水力半径。R对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为：5.流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积，用Q表示，单位：m3/s或l/s。udtduddtudtddQuddQQudωωudt不均匀分布断面平均流速vωxudQvvdQ6.断面平均流速若过水断面上各点的流速都相等（等于v），此时通过的流量与实际流速为不均匀分布时通过的流量相等，v就叫做断面平均流速。QvvvdudQ第八讲水力学恒定一元流的连续性方程及理想液体恒定元流的能量方程四、均匀流与非均匀流流线为相互平行的直线？均匀流非均匀流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线是曲线或者是不相互平行的直线。问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？2、均匀流的当地加速度为零吗？1.均匀流均匀流的特性①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。迁移加速度？③均匀流同一过水断面上各点的动水压强符合静水压强分布规律。即同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；cpzOO11()pzCg22()pzCgdndωαzdzz在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有0nFGpdddpp)(dzddndGcoscos0)(即dzdpdddpp：0dzdp积分得：cpzpp+dpnn适用条件2.非均匀流渐变流急变流是否接近均匀流？是否流线虽不平行，但夹角较小流线虽有弯曲，但曲率较小流线是近似平行的直线，近似认为cpz流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。流线不平行或弯曲程度很大，见40页cpz流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流急变流五、一元流、二元流、三元流一元流二元流三元流运动要素是一个空间坐标的函数运动要素是二个空间坐标的函数运动要素是三个空间坐标的函数元流、引入断面平均流速的总流，均是一元流。断面上各点的流速相同，只是沿程发生变化。),(),,(tspptsuusuutudtdua任何实际流动从本质上都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化抽象，以便分析处理总结：水流的分类按运动要素是否随时间变化表征液体运动的物理量，如流速、加速度、动水压强等恒定流非恒定流按运动要素随空间坐标的变化一元流二元流三元流按流线是否为相互平行的直线均匀流非均匀流渐变流急变流流速、压强特征第三节恒定总流的连续性方程211212u11du22d（1）恒定流时，元流的形状和位置不变。（2）无液体经侧面流进、流出。（3）连续介质无空隙。依据：质量守恒原理依质量守恒定律,流入液体的质量等于流出液体的质量。对于不可压缩液体的恒定流，各断面通过的流量相等（适用于理想、实际液体，适用于边界固定的非恒定流的同一时刻）。对于不可压