苏州市2013届高三调研测试

DBFQSYYSDYPTDFDF苏州市2013届高三调研测试21.A.证明：连结OP，∵直线l切圆O于点P，∴OP⊥l.(2分)∵AC⊥l，BD⊥l，∴OP∥AC∥BD.又OA＝OB，∴PC＝PD.(5分)∵OP∥AC，∴∠OPA＝∠CAP.(8分)∵OP＝OA.∴∠OPA＝∠OAP.则∠CAP＝∠OAP.∴AP平分∠CAB.(10分)B.解：设α＝ab为矩阵M＝1x21属于特征值－1的一个非零特征向量．则1x21ab＝－1×ab，(2分)∴a＋xb＝－a，2a＋b＝－b，解得b＝－a(由条件知a≠0)，x＝2.(5分)因此M＝1221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分)∵λ≠－1，∴λ＝3.(10分)C.解：A(4，0)，B(0，2)，AB＝25.则直线AB方程为x＋2y－4＝0.(2分)设P(4cosθ，2sinθ)，θ为锐角．则点P到直线AB的距离为d＝|4cosθ＋4sinθ－4|5＝|42sin（θ＋45°）－4|5.(5分)∵θ为锐角，∴45°＜θ＋45°＜135°.∴22＜sin(θ＋45°)≤1，0＜42sin(θ＋45°)－4≤42－4.则当θ＝45°时，d取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB面积S取得最大值为DBFQSYYSDYPTDFDF×25×42－45＝42－4.(10分)D.证明：∵a、b、x、y都是正数，∴(ax＋by)(bx＋ay)＝ab(x2＋y2)＋xy(a2＋b2)(2分)≥ab(2xy)＋xy(a2＋b2)(5分)＝(a＋b)2xy.(8分)∵a＋b＝1，∴(a＋b)2xy＝xy.则(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立．(10分)22.解：(1)“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为8×210×9＝845.(2分)(2)X的取值为0、1、2，则P(X＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X的分布列为：X012P715715115数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23.解：(1)由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).A1D→＝(1，2，－3)，A1C1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．∵n·A1D→＝x＋2y－3z＝0，n·A1C1→＝4y＝0.∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．(4分)设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，∵DB1→＝(1，－2，3)，∴sinθ＝|cos〈DB1→，n〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)．A1B1→＝(2，0，0)，∵m·A1D→＝a＋2b－3c＝0，m·A1B1→＝2a＝0，DBFQSYYSDYPTDFDF∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.故m＝(0，3，2)．(8分)设二面角B1A1DC1的大小为α，∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sinα＝3765＝345565.∴二面角B1A1DC1的正弦值为345565.(10分)DBFQSYYSDYPTDFDF无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21.A.证明：连结OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAE，∴∠OAD＝∠EAD，(3分)∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE.(5分)又AE⊥DE，∴DE⊥OD，(8分)又OD为半径，∴DE是圆O的切线．(10分)B.解：0－1101201＝0－112.(4分)设A(a，b)，则由0－112ab＝－34，得－b＝－3，a＋2b＝4.(8分)所以a＝－2，b＝3，即A(－2，3)．(10分)C.解：圆C：ρ＝2cosθ＋π2，即ρ＝－2sinθ，ρ2＝－2ρsinθ，(2分)∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，∴圆心C(0，－1)．(4分)直线l：ρsinθ＋π4＝2，即ρsinθ＋ρcosθ＝2，∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.(7分)∵圆心C到直线l的距离为d＝|－1－2|2＝322，(9分)∴动点M到直线l距离的最大值为322＋1.(10分)D.证明：∵|x＋1|＋|x－1|＜4，原不等式等价于x＜－1，－2x＜4，x＞－1，2x＜4，－1≤x≤1，2＜4，(2分)解得－2＜x＜－1或－1≤x≤1或1＜x＜2，(4分)∴4(a＋b)2－(4＋ab)2＝－a2b2＋4a2－16＋4b2＝(a2－4)(4－b2)．∵a、b∈M，即－2＜a＜2，－2＜b＜2，∴(a2－4)(4－b2)＜0，(8分)∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|.(10分)22.解：(1)设Y表示银行工作人员办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y2346P1531025110DBFQSYYSDYPTDFDF表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A对应两种情形：①办理第一位业务所需的时间为2min，且办理第二位业务所需的时间为3min；②办理第一位业务所需的时间为3min，且办理第二位业务所需的时间为2min；∴P(A)＝P(Y＝2)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2)X的取值为0、1、2，X＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4min，∴P(X＝0)＝P(Y＞4)＝110，(5分)X＝1对应办理第一位业务所需的时间为2min且办理第二位业务所需的时间超过2min，或办理第一位业务所需的时间为3min或办理第一位业务所需的时间为4min，∴P(X＝1)＝P(Y＝2)P(Y＞2)＋P(Y＝3)＋(Y＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X＝2对应办理两位顾客业务时间均为2min，∴P(X＝2)＝P(Y＝2)P(Y＝2)＝15×15＝125.(7分)∴X的分布列为：X012P1104350125(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23.(1)解：由已知，得f′(x)＝x＋1x.当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分)所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e22＋1、最小值为12.(4分)(2)证明：当n＝1时，不等式成立，(5分)当n≥2时，[g(x)]n－g(xn)＝x＋1xn－xn＋1xn＝C1nxn－11x＋C2nxn－21x2＋…＋Cn－1nx1xn－1＝C1nxn－2＋C2nxn－4＋…＋Cn－1n1xn－2＝12[C1nxn－2＋1xn－2＋C2nxn－4＋1xn－4＋…＋DBFQSYYSDYPTDFDF－1n1xn－2＋xn－2]．(9分)由已知x＞0，所以[g(x)]n－g(xn)≥C1n＋C2n＋…＋Cn－1n＝2n－2.(10分)DBFQSYYSDYPTDFDF常州市2013届高三上学期期末考试21.A.证明：连结OF.因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC.因为DF切圆O于F，所以∠OFD＝90°.所以∠OFC＋∠CFD＝90°.(4分)因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE.(8分)因为DF是圆O的切线，所以DF2＝DB·DA.所以DE2＝DB·DA.(10分)B.解：因为矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，所以33cd11＝611，化简，得c＋d＝6.(4分)因为矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝3－2，所以33cd3－2＝3－2，化简，得3c－2d＝－2.(8分)解得c＝2，d＝4，即A＝3324，故A的逆矩阵是23－12－1312.(10分)C.解：将曲线C1、C2化为直角坐标方程，得C1：x＋3y＋2＝0，C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，(4分)∵圆心C2到直线C1的距离d＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分)∴曲线C1与C2相离．(10分)D.证明：x、y、z均为正实数，由柯西不等式，得[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥(x＋y＋z)2，(6分)∵x＋y＋z＝1，DBFQSYYSDYPTDFDF∴x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥12.(10分)22.解：(1)设口袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C2nC29，由题意知C2nC29＝512，化简得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2)由题意，X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝69＝23；P(X＝2)＝3×69×8＝14；P(X＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X的概率分布列为：X1234P2314114184所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23.解：(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝15.(2分)(2)an＝16(n3＋5n＋6)．(4分)证明如下：当n