第三章矩阵对角化若当标准型

６３第三章矩阵的对角化、若当标准型§3.1矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。一、特征值、特征向量性质定义1设nnAC，称A的全体特征值为A的谱。下面定理1是显然的。定理1相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。由于矩阵A的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。定理2设nnAC，则A的不同特征值对应的特征向量线性无关。定义2设nnAC，i为A的特征值，称A的特征多项式中i的重根数im为i的代数重复度，称特征子空间iV的维数i为i的几何重复度。由定义2即知A的特征值i的几何重复度i为A对应于特征值i的线性无关特征向量的个数。定理3设nnAC，i为A的特征值，i为i的几何重复度，则rank()iinnIA证明特征子空间{|,}iniVxAxxxC，所以dimdim()iiinVNIAdim()innRIArank()innIA例1求123323001A的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。６４解123det()323001IA2(1)(4)所以A的谱为11,1，24，12,的代数重复度分别为122,1mm。1的几何重复度113rank()IA2233rank33310002的几何重复度223rank()IA3233rank3231005定理4设nnAC，i为A的特征值，im为i的代数重复度，i为i的几何重复度，则iim。证明因为i为i的几何重复度，所以A对应于i有i个线性无关的特征向量12,,,i是特征子空间iV的基，将12,,,i扩充为nC的基121,,,,,iin设121[]iinP，则121[]iinAPA121[,]iiiiinAA121*[]iiiiniOPB６５其中()()iinnC，*iiiBO。所以矩阵A与B相似，故特征多项式det()det()nnIAIB()det()iiinI又因为det()()()imniIAf所以iim。二、矩阵的对角化定义3设nnAC，若A与对角阵相似，则称A可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。定理5设nnAC，则A为单纯矩阵的充分必要条件是A的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。证明设12,,,为A的全部相异特征值，im为i的代数重复度，i为i的几何重复度，1,2,,i。充分性因为1iimn，iim，所以A有n个线性无关的特征向量12111222121212,,,,,,,,,,,,ppppppppp其中12,,,iiiippp为i对应的特征向量，1,2,,i。设12111222121212[,,,,,,,,,,,,]Pppppppppp则1122diag[,,,,,,,,,]APP故６６11122diag[,,,,,,,,,]APP必要性设A与12diag[,,,]n相似，则12,,,n是A的特征值，不妨设1211122diag[,,,,,,,,,]mmmAPP则A关于特征值i至少有im个线性无关的特征向量，即iim，又由定理4：iim，故得iim，1,2,,i。由定理5的证明显然有下面的结论。推论1设nnAC，则A为单纯矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。推论2设nnAC，若A有n个不同的特征值，则A为单纯矩阵。三、正规阵及其对角化定义4设()nnnnACR，如果HHAAAA，则称A为复（实）正规阵。显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。定义5设,()nnnnABCR，若()nnnnUUE，使得HAUBU（TAUBU）则称,AB酉（正交）相似。引理1（司楚尔（Schur）引理）设nnAC，则nnUU，使得HAURU，其中R是上三角阵，且R的对角线为A的特征值。证明用归纳法当1n时，命题显然。假设nm时命题成立，要证1nm时命题也成立。设(1)(1)mmAC，1为A的特征值，1u为其对应的特征向量，且1||||1u。将1u扩充为1mC的标准正交基121,,,muuu记1121[]mUuuu，则６７H1HH211121H1mmuuUAUAuAuAuu11BOA因为1mmAC，故由假设1mmVU，使得H1111AVRV，其中1R为上三角阵。所以1H11H111BUAUOVRV11H11111OBVOOVOROV所以11H1111111HOBVOAUUOVOROV记111OUUOV，111BVROR，则(1)(1)mmUU，且HAURU其中R为上三角阵。因为A与R酉相似，故A与R有相同的特征值，所以R的对角线元素为A的特征值。推论3设nnAC，则nnUU，使得HAURU，其中R是下三角阵，且R的对角线为A的特征值。定理6设nnAC，则A为正规阵的充分必要条件是nnUU，使得HAUU，其中12diag[,,,]n，12,,,n是A的特征值。证明必要性由司楚尔引理nnUU，使得HAURU，11121222000nnnnrrrrrRr且R的对角线为A的特征值12,,,n。６８因为HHHHHHAAURUURUURRUHHHHHHAAURUURUURRU所以HHRRRR，即1112111222122212000000nnnnnnnnrrrrrrrrrrrr1111121122222212000000nnnnnnnnrrrrrrrrrrrr比较此式两端即得12diag[,,,]nR。充分性HAUU，故HHAAAA。推论4正规阵是单纯矩阵。推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。证明由定理6知A酉相似对角阵，故A的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。推论6设A为正规阵，其特征值为12,,,n，则HA的特征值为12,,,n。证明因为A为正规阵，所以nnUU，使得12diag[,,,]HnAUU所以12diag[,,,]HHnAUU即HA的特征值为12,,,n。推论7设A为正规阵，则A为Hermite矩阵的充分必要条件是A的特征值都是实数。证明由推论6，若HAA，则A的特征值为实数。反之若A的特征值为实数，则HAA。６９推论8设A为正规阵，则A为酉矩阵的充分必要条件是A的特征值|()|1A。证明因为A为正规阵，所以nnUU，使得12diag[,,,]HnAUU若HAAI，则1ii，即||1i，1,2,,in。反之，若||1i，1,2,,in，则HAAI。n阶正规阵A酉相似于对角阵，求酉矩阵nnUU，使得12diag[,,,]HnUAU的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。（1）求出A的相异特征值12,,,（2）对A的每个相异特征值i求出其对应的特征子空间的基底12,,,iiiippp（即方程()0iIAx的基础解系），1,2,,i。（3）将12,,,iiiippp化为i对应的特征子空间标准正交基12,,,iiii（用施密特正交化，然后单位化），1,2,,i（4）取12111222121212[]U，则1122diag[,,,,,,,,,]HUAU§3.2埃尔米特二次型埃尔米特矩阵是实对称阵的推广，而一个实对称阵对应着一个实二次型，相应的我们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其它一些工程中有重要的应用。一、埃尔米特矩阵定理1设HnnAAC，则（1）A酉相似于对角线上都是A的特征值的对角阵，且A的特征值都是实数。７０（2）若rankAr，则A与矩阵PrPIIO合同（称p为A的正惯性指数，rp为A的负惯性指数）。证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。（2）因为A为正规阵，所以nnUU，使得12diag[,,,]HnAUU不妨设12,,,0r，其中1212,,,0,,,,0pppr，则12diag[,,,]HnAUU1122PHrPnrnrNINUNINUIOI其中对角阵11=pN，12||=||prN记12nrNVUNI，则nnnVC，且PHrPIAVIVO由上述证明可得出埃尔米特矩阵A的正、负惯性指数即为A的正、负特征值的个数，从而A的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。定理2设nnAC，则A为Hermite矩阵的充分必要条件是nxC，HxAx为实数。证明必要性因为HxAx是数且A为Hermite矩阵，所以()HHHHxAxxAxxAx故HxAx为实数。７１充分性因为HxAx为实数，故HHHxAxxAx，即()0HHxAAx。设()HsjBAAb，则0HxBx。（1）取[00100]Ttx，则0HttxBxb，1,2,,tn。（2）取[00100100]Tsjx，则0HsssjjsjjxBxbbbb，由（1）知0sjjsbb。（3）取[0010000]Tsjxi（1i），则0HsssjjsjjxBxbibibb，所以0sjjsbb，由（2）得0sjjsbb，即BO，故HAA。二、埃尔米特二次型定义1设12[]TnnxxxxC，称n元二次齐次函数1211()(,,,)nnnijijijfxfxxxaxx为埃尔米特二次型或复二次型，其中ijjiaaC，1,2,,,1,2,,injn。若记111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，则HnnAAC，且埃尔米特二次型()HfxxAx。由定理2知埃尔米特二次型HxAx是实数，如果作可逆线性变换xCy，则()()HHHfxxAxyCACy，而HBCAC也是埃尔米特矩阵，这样，()fx就化为关于y的埃尔米特二次型，即()HfxyBy。定理3对埃尔米特二次型()HfxxAx，nxC，存在酉变换xUy，使得()fx为标准型，即2221122()||||||HnnfxxAxyyy其中12[]TnnyyyyC，12,,,n是A的特征值且为实数。证明因为A为埃尔米特矩阵，所以由定理1的（1）nnUU，使得７２12diag[,,,]HnUAU且12,,,n为实数。令xUy，则