第2专题(理)

热点重点难点专题透析·数学(理科)【考情报告】热点重点难点专题透析·数学(理科)年份题型考点2012年2013年2014年小题第5题:等比数列中基本量的相互转化第16题:数列的递推式,讨论n的奇偶性,分情况求和第7题:等差数列前n项和,求项数第12题:数列与解三角形结合,数列间的递推关系,数列的单调性第14题:由Sn与an的关系求an大题第17题:通过an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2证明数列an+2与an之间的关系,再利用等差数列的定义来解题热点重点难点专题透析·数学(理科)【考向预测】数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考数学中有着十分重要的地位.从新课标卷近几年对数列的考查来看,难度有所降低,但是对等差、等比数列的通项以及求和的考查仍然是重点.在平时复习与训练中要注意基本方法与基本题型,同时我们要注意“巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要.就考查方向上我们要注意以下方面:一是等差数列、等比数列的基本量计算;二是一个等差数列与等比数列乘积式求和,我们要熟练使用“错位相减法”;三是裂项求和问题.热点重点难点专题透析·数学(理科)【问题引领】1.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3的值为().A.12B.12或2C.2D.-2或12热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】设公差为d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d),即𝑎12+4a1d+4d2=𝑎12+3a1d,解得a1=-4d(d=0舍去).故𝑆3-𝑆2𝑆5-𝑆3=𝑎3𝑎4+𝑎5=-4𝑑+2𝑑-4𝑑+3𝑑-4𝑑+4𝑑=2.【答案】C2.设Sn为数列{an}的前n项和,若不等式𝑎𝑛2+𝑆𝑛2𝑛2≥m𝑎12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为().A.14B.15C.1D.无法确定热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】因为Sn=12n(a1+an),所以原不等式可化为𝑎𝑛2+14(a1+an)2≥m𝑎12.若a1=0,则原不等式恒成立;若a1≠0,则有m≤54(𝑎𝑛𝑎1)2+12(𝑎𝑛𝑎1)+14,而54(𝑎𝑛𝑎1)2+12(𝑎𝑛𝑎1)+14=54(𝑎𝑛𝑎1+15)2+15≥15,则m≤15.故实数m的最大值为15.【答案】B3.(2014广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】由题意知a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,即a10a11=e5,因此a1a2…a20=(𝑎1𝑎20)(𝑎2𝑎19)…(𝑎10𝑎11)10对=(a10a11)10=(e5)10=e50,因此lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=lne50=50.【答案】504.数列{an}的前n项和为Sn,且an=nsinn𝜋2+12,则S2015=.热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】S2015=12×2015+(1-3)+(5-7)+(9-11)+…+(2013-2015)=20152+(-2)×10082=-12.【答案】-125.(2014山东卷)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-14nanan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+2×12×2=2a1+2,S4=4a1+4×32×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(-1)n-14n(2n-1)(2n+1)=(-1)n-1(12n-1+12n+1).当n为偶数时,Tn=(1+13)-(13+15)+…+(12n-3+12n-1)-(12n-1+12n+1)=1-12n+1=2n2n+1;热点重点难点专题透析·数学(理科)当n为奇数时,Tn=(1+13)-(13+15)+…-(12n-3+12n-1)+(12n-1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1.所以Tn=2n+22n+1,n为奇数,2n2n+1,n为偶数,也可写成Tn=2n+1+(-1)n-12n+1.热点重点难点专题透析·数学(理科)6.(2014新课标全国Ⅱ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+12}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明1a1+1a2+…+1an32.热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】(1)在an+1=3an+1中两边同时加12,an+12=3(an-1+12),即数列{an+12}是以3为公比,a1+12=32为首项的等比数列.∴an=32×3n-1-12=3n-12.(2)(法一:放缩法)∵1an=23n-1,∴1a1+1a2+1a3+…+1an=231-1+232-1+233-1+…+23n-1≤2+131-1+1+2+132-1+1+2+133-1+1+…+2+13n-1+1热点重点难点专题透析·数学(理科)=32(1-13n)32.(本题用到性质:若a、b、m均为正数,且ab,则b+ma+mba.)(法二:放缩法)由(1)知1an=23n-1,当n=1时,1a1=132.当n1时,1an=23n-113n-1,∴1a1+1a2+1a3+…+1an1+131+132+…+13n-1=1-13n1-13=32(1-13n)32.∴1a1+1a2+1a3+…+1an32,n∈N*.热点重点难点专题透析·数学(理科)(法三:数学归纳法)先证一个条件更强的结论:1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛≤32-12×3𝑛-1.①当n=1时,1𝑎1=231-1=32-12×30,等号成立;当n=2时,1𝑎1+1𝑎2=5443=32-12×31,新命题成立.②假定对于n2,且n∈N*,新命题成立,即1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛≤32-12×3𝑛-1,那么对于n+1的情形有:1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛+1𝑎𝑛+1≤32-12×3𝑛-1+23𝑛+1-132-12×3𝑛-1+2+13𝑛+1-1+1=32-12×3𝑛,即新命题成立.∴1𝑎1+1𝑎2+1𝑎3+…+1𝑎𝑛≤32-12×3𝑛-132,即原命题成立.热点重点难点专题透析·数学(理科)【诊断参考】1.等差数列、等比数列是高考的重点,一方面应该熟悉公式,同时又要熟练运用公式的变形,本题的关键是通过(a1+2d)2=a1(a1+3d)找到a1与d的关系以减少变量.注意高考数列题“小、巧、活”的特点.2.将已知不等式用an与a1表示后分离参数m转化为函数的最值问题求解.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时,所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.热点重点难点专题透析·数学(理科)3.等比数列基本量的计算是重点,我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系进而求解.本题我们发现a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11,后面整体处理可使问题迎刃而解,如果本题死套公式去求解,就会增加计算量.4.能够把an=nsin𝑛π2+12具体化,利用分组求和法进行计算.数列中Sn与an的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最常见的题型之一,要切实注意Sn与an之间的关系.5.近几年新课标卷中数列一般放在解答题的较前位置,着重考查数列的基本知识.本题的难点是裂项求和以及对n为奇数和n为偶数的讨论.热点重点难点专题透析·数学(理科)6.本题第一问要求按照题中给出的模式证明{an+12}是等比数列,从而求出{an}的通项公式;第二问要能够利用放缩法进行解题.数列与函数、不等式、三角、概率等的综合问题体现了高考常在“知识交汇点”上命题.今后在这方面我们要加强训练.【知识整合】一、Sn与an之间的关系在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an,从而an=𝑆1,n=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,n≥2.热点重点难点专题透析·数学(理科)二、等差数列的相关公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列,则1.an=a1+(n-1)d,Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2.2.对正整数m,n,p,q,有am+an=ap+aq⇔m+n=p+q,am+an=2ap⇔m+n=2p.三、等比数列的相关公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列,则1.an=a1qn-1,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛q1-𝑞,q≠1,𝑛𝑎1,q=1.2.对正整数m,n,p,q,有aman=apaq⇔m+n=p+q,aman=𝑎𝑝2⇔m+n=2p.热点重点难点专题透析·数学(理科)四、等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列;若等比数列的前n项和为Sn,则当Sm不等于0时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.五、在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解:1.当a10,d0时,满足𝑎𝑚≥0,𝑎𝑚+1≤0的项数m使得Sm取最大值.2.当a10,d0时,满足𝑎𝑚≤0,𝑎𝑚+1≥0的项数m使得Sm取最小值.热点重点难点专题透析·数学(理科)在解含绝对值的数列最值问题时,要注意转化思想的应用.六、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、归纳猜想证明法等.【考点聚焦】热点一:等差数列的通项、求和及其性质等差数列问题中最基本的量是首项和公差.解题时根据已知条件求出这两个量,其他的问题也可随之解决,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用.在等差数列{an}中,a1+a99=20,则12a50+a20+a80=.热点重点难点专题透析·数学(理科)【分析】利用等差数列的性质求解即可.【解析】∵数列{an}为等差数列,a1+a99=20,∴2a50=a1+a99=20,即a50=10,又a20+a80=2a50,则12a50+a20+a80=12a50+(a20+a80)=12a50+2a50=52a50=52×10=25.【答案】25【归纳拓展】等差数列的相关问题可通过转化为a1与d的关系式进行求解,也可灵活应用等差数列的性质(对正整数m,n,p,q,m+n=p+q⇒am+an=ap+aq)求解.本题采用等差数列的性质求解更简便.变式训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,∴4𝑎1+4×32d≥10,5𝑎1+5×42d≤15,即2𝑎1+3d≥5,𝑎1+2d≤3,∴5-3𝑑2≤a1≤3-2d,∴5-3𝑑2≤3-2d,∴d≤1,∴a4=(a1+2d)+d≤3+d≤3+1=4.故a4的最大值为4.【答案】4热点重点难点专题透析·数学(理科)(2014新课标全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.热点重点难点专题透析·数学(理科)【分析】能够将题中的Sn合理地转化为an,并能够利用等差数列的定义解题.【解析】(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1a