第三章结构可靠度的近似计算

主要内容干涉面积法二阶矩法H-L法R-F法吴氏法相关变量的独立变换多失效模式可靠度估算功能函数的多项式近似结构可靠度普遍表达式：dSdRRfSfSRPPsRsr0)()()(dZdSSfSZfdZZfZPPSRzr000)()()()0(dZdSSfZSSfdZZfZPPSRzr])()([)()1(101应力和强度相关的情况SRRSrdSdRRSfSRPP),()(,应力和强度独立回顾应力强度均为正态分布时结构可靠度22SRSR)(2122dxePxr22LnSLnRLnSLnR应力强度均为对数正态分布时结构可靠度)(rP应力强度均为Γ分布时结构可靠度),(),(1/mnmnPaar回顾截尾分布的可靠度计算)(xfxxfxfT1)()()(xfTf)(xfxTXxTXdxxfx)(TXdxxfx)(TTXXdxxfx)(1左截尾分布：右截尾分布：两边截尾分布：dRSFRFRfdRdSSfRfSRPPTTTRTSSRSRRSTSRTRr)]()()[()1)(1(1])([)()(回顾应力粗糙度回顾1)/(1222SRSRSRSRSSRSRSRSRSSRSSRSRSVS)1/()()(2222f)(RfR)(SfS0S，R00RS1a2a001)(RRdRRfadSSfaSS)(02结构失效率：dSdRRfSfPSRSf00])()[(0000])()[(SSRSdSdRRfSf21010)(aadSSfaSS结构可靠度：00])()[(dRdSSfRfPRSRr0])(1)[(dRdSSfRfRSR0])(1)[(0dRdSSfRfSSR)1)(1(21aa0)()1()()1(202RRRdRRfadRRfa一、干涉面积法结构可靠度估计区间：rUrrLPaaPaaP21211)1)(1(可靠度经验估算值：)1)(1(1rLrUrPPP结构非失效保证度211aar注意：干涉区面积不等于结构失效概率。失效概率估计区间：212121aaaaPaaf一、干涉面积法应力强度分布需已知基本变量函数的分布难以求解假设应力、强度均服从正态分布应力、强度与基本随机变量的关系-力学公式二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）),,,(21myyyRR),,,(21nxxxSS),(~2iixxiNx),(~2iiyyiNy1.应力和强度为基本变量线性函数nnxaxaxaS....2211mmyaybybR....2211njyjnixiniximjyjSRsRjiijbaab1221221122若各变量相互独立二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）)(rP2.应力和强度为基本变量非线性函数nixiixxxiixnxxSSS1)(),,,(21niyiiyyyiiynyyRRR1)(),,,(21iyiixiyniixniixnxxynyyyRxSSR2122122121),,,(),,,(若各变量相互独立泰勒级数展开（取一次项）：二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）3.功能函数为基本变量线性函数12011(,,....,)nnnZgxxxaaxax01221niiiznziiiaaa各基本变量相互独立时各基本变量相关时0122111,niiinnniiijijijiijjiaaaaa二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）4.功能函数为基本变量非线性函数泰勒级数展开（保留一次项）12120(,,....,)(,,....,)()innniiiiggxxxgxx二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）nixinzzixgg12221),,(各基本变量相互独立时5.FOSM特点二、一次二阶矩法（FirstOrderSecondMoment,FOSM）优点：以变量一阶矩（均值）和二阶矩（方差）为概率特征进行求解。缺点：略去了泰勒级数中高阶项，对非线性程度高的功能函数将产生较大的误差，且对同一问题采用不同功能函数，得出不同结果。应用：精度要求不高时，尽量选择线性化程度好的功能函数。三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）Hasofer-Lind法，简称H-L法1.二变量线性功能函数（正态）)(RfR)(SfSRSRSRSZ=R-S=0SR0),(SRRSgZSSSxRRRy0),(SSRRxySRRSg标准化变换三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）)(RfR)(SfSRSRSRSZ=R-S=0SR0),(SSRRxySRRSg0222222SRSRSRSSRRxy0coscosRSyxyxRS*y*x),(***yxPo0coscosRSyx可靠性指数的几何意义：标准正态坐标系中，坐标原点至极限状态方程的最短距离。RSRRRSSRsScoscos2222令三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）0coscosRSyxyxRS*y*x),(***yxPo0coscosRSyx验算点P*：RRSSyxcos*cos*三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）2.多维线性变量的功能函数（正态）0),,,(0121axaxxxgZniiiniiiixy标准化变换假设各变量相互独立001ayaZniiiii三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）001ayaZniiiii2/11221012/1122niiiniiiniiniiiiiaaayaainiiiiiiaacos2/11222/112210niiiniiiaaaniiiy1可靠性指数的几何意义：标准正态坐标系中，坐标原点至失效超平面的最短距离。三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点P*：iiiycos*iniiiiiiaacos2/11222/112210niiiniiiaaa三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）3.多维非线性变量的功能函数（H-L法）0),,,(21nxxxgZ假设各变量相互独立若已知验算点),,,(***2*1nyyyP在验算点处泰勒展开（保留一次项）),,,(***2*1nxxxPiiiixy**niiiPinnxxxgxxxgxxxg1****2*121)(),,,(),,,(三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点在极限状态曲面上0)(),,,(),,,(1****2*121niiiPinnxxxgxxxgxxxg01**1*niiPiniiPixxgxxginiiPiiPiixgxgcos2/1122**2/1122*1**niiPiniiiPixgxxg三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点未知，求解步骤：iniiPiiPiixgxgcos2/1122**2/1122*1**niiPiniiiPixgxxg1）假设验算点初值，可取均值*ixi2）根据下式，由验算点计算3）计算可靠性指标三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点未知，求解步骤：iniiPiiPiixgxgcos2/1122**iiiix*4）计算新的验算点5）重复以上步骤，直到精度满足要求。三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）4.H-L法的优化计算模型)(rP可靠性指标β定义：在标准正态坐标系中从坐标原点到失效面的最短距离。0),,,(..min2112/112nniiyyygtsy三、H-L法（改进一次二阶矩法AFOSM）Lagrange乘子法),,,(212/112nniiyyygyL0),,,(,,2,1021112/112niniiiiyyygLniygyyyL),,,(***2*1nyyyP2/112*niiy0),,,(..min2112/112nniiyyygtsy设计验算点法四、R-F法（Rackwitz-Fiessler法）H-L法：基本变量服从正态分布含有非正态分布的基本变量怎么办？当量正态化处理：非正态x→等价正态x’当量正态处理原则：在某一特定点（验算点）处满足条件：）2（1)(）1（)(*****xxxfxxFxx）)(*1*（4)(xf)(xFΦφσ（3）*ii*ii1iiiiiixFx四、R-F法（Rackwitz-Fiessler法）四、R-F法（Rackwitz-Fiessler法）验算点未知，求解步骤：1）假设验算点初值，可取均值*ixi2）当量正态化处理3）调用H-L法，更新验算点4）重复以上步骤，直到精度满足要求。国际安全度联合委员会（JCSS）推荐方法-JC法五、吴氏（Wu）法H-L法、R-F法特点优点：简单，任何分布均能处理。缺点：误差较大，且无法预测◇使原问题状态空间发生变化（在验算点处将极限状态方程线性化）◇当量正态化处理。吴氏（Wu）法假设线性功能函数中某一非正态变量，已知其分布函数为，为了确定的等价正态分布变量，用一个函数近似地与拟合，由最小二乘优化可以解决这一问题：kx()xFxx()Hx()xFx2min[()()()()]xEHxWxFxWxdx服从约束条件0(,)0kgxyaaxy()Wx()Hx其中，E称为拟合误差，称为加权函数，三参数正态分布的累积分布函数，该函数可由如下确定。是具有()()kxkxFxHxA五、吴氏（Wu）法二、结构可靠度的近似计算上式中，为三个待定参数。如果和已经确定了的话，可