第三章课后作业

一、必做作业：1．用两种方法求下列函数的极值：（1）解：第1种方法利用求导：332xy,xy6，令0y，得到：1x，当1x时，0y，y取得极小值且1极小值y；当1x时，0y，y取得极大值且3极大值y；第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点0x处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：20020203203)2()2()()(13xxxxxxxxxxxxy比较系数得到：①020x；②32020xx；③120x由①得02x，代入②得120x，故，1100xx或。若10x，则，2，代入③得1，从而有：1)2()1(2xxy；当x在1的附近，显然有02x，又0)1(2x；所以：11)2()1(2xxy，即函数y在处10x取得极小值-1.若10x，则，2，代入③得3，从而有：3)2()1(2xxy；当x在-1的附近，显然有02x，又0)1(2x；所以：33)2()1(2xxy，即函数y在处10x取得极大值3.（2）．解：第1种方法利用求导：12662xxy,612xy，令0y，得到：12或x，当2x时，0y，y取得极小值且19极小值y；当1x时，0y，y取得极大值且8极大值y；第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点0x处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：2002020320232)2(2)2(22)()(211232xxxxxxxxxxxxxy比较系数得：①3)2(20x；②12)2(2020xx；③1220x由①得2320x，代入②得02020xx，故，1200xx或。若20x，则，25，代入③得19，从而有：19)25()2(22xxy；当x在2的附近，显然有025x，又0)2(2x；所以：1919)25()2(22xxy，即函数y在处20x取得极小值-19.若10x，则，27，代入③得8，从而有：8)27()1(22xxy；当x在-1的附近，显然有027x，又0)1(2x；所以：88)27()1(22xxy，即函数y在处10x取得极大值8.2．问当取何值时，取得最小值．解：先求二次函数的偏导数84614610yxfyxfyx，并令0;0yxff，解得1,2yx，此为),(yxf的驻点，且),(yxf在2R上是连续的，因此在点（2，-1）上取得最小值2。即当1,2yx时，),(yxf取得最小值2.3．有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法用上。因此从n=3考虑：当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见，第一次广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。第一次开播时，第2、3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播则应在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。所以，至少播2次就可以了。这个对任意的3n也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进来的顾客为B，若按上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未相遇。这与已知条件矛盾。所以，商场至少需要广播2次，当天全体顾客都可以听到了。4．解不等式．解：原式可化为：①0111222xxxx，由于012x，因此，只要01122xxx，①式即可成立。因此110112222xxxxxx②（1）当1x时，不等式②两边均为正数，两边平方符号不变，即1,33333112)1()1(224242222xxxxxxxxxxx从而或（2）当1x时，01,0122xxx而，从而不等式②不成立，即无解。（3）当10x时，01,0122xxx，从而不等式②恒成立，即不等式的解为10x。（4）当01x时，不等式②两边均为负数，两边平方符号改变，即033,333331)1()1(22222xxxxxx从而综上所述，可以知道不等式的解集为33xx5．设求证：.证：原不等式等价nnaaananaanaaaaaa2121)ln()ln(2121，即要证明：naaaaaaaaaaaannnn21212211ln)(lnlnln。设函数0,ln)(xxxxf，求得1ln)(xxf，xxf1)(，由于0)(,0xfx从而有，因此，)(xf在定义域0x上为凹函数，则由凹函数的性质可知：)()()()(,02121naaafnafafafanni有，从而有naaanaaanaaaaaannnn21212211lnlnlnln成立，即naaaaaaaaaaaannnn21212211ln)(lnlnln，因此，可以知道原不等式成立，即证明。