第三部分多自由度系统的振动.

第三部分多自由度振动系统基本知识点4对多自由度系统振动求响应3固有振型的正交性2多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）1多自由度系统运动微分方程5例题第三部分多自由度系统的振动1多自由度系统运动微分方程●牛顿力学方法：●分析力学方法：这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方程较为方便。MqCqKqQ)(ddtQqUqTqTtjjjj),,2,1(nj第三部分多自由度系统的振动2多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）按无阻尼自由振动方程进行求解固有频率求解：MqKq022()det()0KM021)2(22)1(212nnnnnaaaa将求得的固有频率r(r=1,2,…,n)分别代入下面的方程，得2()()(1,2,,)rrrnKMu0固有振型求解：第三部分多自由度系统的振动正则振型振型向量可以排列成为n阶方阵，称为模态矩阵(或振型矩阵)，即(1)(2)()nuuuu一个很简便的正则化方法就是令()T()1(1,2,,)rruurnM有()T()2(1,2,,)rrruurnK第三部分多自由度系统的振动3固有振型的正交性（主振型）()T()0()srrsuMu()T()rrrMuMu()T()0()srrsuKu()T()rrrKuKuT12nMMMruMuMT12nKKKruKuK第三部分多自由度系统的振动3固有振型的正交性（正则振型）()T()0()srrsuMu()T()1rruMu()T()0()srrsuKu()T()2rrruKuT111rMuMuIT21222nrKuKuΛ第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的类型：无阻尼振动系统对初始条件的响应无阻尼振动系统对任意激励的响应有阻尼振动系统对各种激励的响应（简谐激励、周期激励、任意激励）第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：(1)列出振动微分方程无阻尼自由振动系统有阻尼各种激励振动系统MqKq0无阻尼任意激振振动系统MqtKqtFtMqtCqtKqtFt第三部分多自由度系统的振动()()1rrruu()()TrrruMu4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：(2)求系统的特征值和特征向量（固有频率及主振型）22()det()0KM2()()(1,2,,)rrrnKMu0(3)将固有振型转换成正则振型正则振型主振型正则化因子组成正则振型矩阵(1)(2)()nuuuu第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：(4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）令qtuηt代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程TTTuMuηtuKuηtuFtN(t)tNttrrrr2),,2,1(nr代入无阻尼任意激振振动系统，并用uT左乘方程TTuMuηtukuηt002ttrrr),,2,1(nr第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：代入有阻尼各种激励振动系统，并用uT左乘方程（阻尼应为比例阻尼、振型阻尼）202sin()rrrrrrrtttNtnr,,2,1T0rrN0uFTTTTuMuηtuCuηtuKuηtuFtN(t)1）简谐激励，sint0FtF第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：2012cossin2rrrrrrrjjjtttaNtajtbjtnr,,2,12）周期激励，()ttjTFF第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：3）任意激励，22()rrrrrrrtttNtnr,,2,1(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的响应1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件100ηuq100ηuqTT,0000ηuMqηuMq第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应2）初始条件响应求解公式tttrrrrrrsincos00),,2,1(nr各正则坐标下单自由度无阻尼任意激振振动系统的响应1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件2）任意激振响应求解公式(5.6-14)trrrrrrrrrtNttt000dsin1sincos第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振的响应1）简谐激励（稳态响应）02222sin12rrrrrrrNtt122tg1rrrrrrT0rrN0uF第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应2）周期激励（稳态响应）102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat式中2222112rjrrrHjjj1222tg1rrrjrjjrr第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应3）任意激励0000ecossin1esindrrrrtrrrrrrdrdrdrttrdrdrtttNt21drrrTT00,rrrr00uMquMq经过上述步骤可求得正则坐标下的响应12()()()Tntttη(t)第三部分多自由度系统的振动4对多自由度系统振动求响应(5)变换为原坐标下的响应111121212221212()()()nrrrnnnnnnntuuuuuutttuuuqtuη(t)u第三部分多自由度系统的振动123000000mmmM5例题求解振动方程图示三自由度有阻尼受迫振动系统。已知：试建立该系统的振动微分方程，并写出系统的特征矩阵。kkk41kk5.123,2kk123,mmmm1k2k3k4k1r2r3r4r1m2m3m1Q2Q3Q1x2x3x解：122223333400kkkkkkkkkkK第三部分多自由度系统的振动122223333400rrrrrrrrrrC123QQQQ123xxxX5例题求解振动方程123xxxX123xxxXMXCXKXQ则系统的微分方程为系统的特征矩阵为22222.51.501.53.52023kmkkkmkkkmHKM第三部分多自由度系统的振动5例题响应求解某振动系统的运动微分方程为：MqKqF(t)其中，mmm0005.10002M520230kkkkkkkK20sin0QtF(t)已知该振动系统的二阶振型为，'(2)0.6790.60661.000u试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。第三部分多自由度系统的振动(2)(2)22000.6790.6790.6066101.500.60662.474001TpmMmmmuMu(2)(2)25200.6790.6790.60661230.60663.974801TpkkKKkkkkkkuu22.474m5例题响应求解对应第二阶主质量和主刚度分别为求正则化因子将阵型正则化，有(2)'(2)20.6790.43171110.60660.38572.4741.0000.6358mmuu第三部分多自由度系统的振动2000.4317110.43170.38570.635801.500.38571000.6358mmmmm5200.4317110.43170.38570.6358230.38571.606600.6358kkkkkkmmmkk2200.385710.43170.38570.6358sinsin0QQttmm5例题响应求解用二阶正则化阵型对原方程进行处理方程变换为2220.38571.6066sinQktmm第三部分多自由度系统的振动5例题响应求解220.3857/sin1.6066Qmttkm则对应于二阶振型的强迫振动解为220.431710.3857/0.3857sin1.60660.6358Qmtkmmx