第三讲导数(学生版)(2014高考数学---新东方内部资料)

1第三讲导数1.导数的概念：'()fx=0limxxxfxxf)()(，导函数也简称导数.特别提示：导数的实质是“增量之比的极限”，如：若0'()2fx,求0limkkxfkxf2)()(00.2.导数的几何意义几何意义：曲线()fx在某一点00(,)xy处的导数是过点00(,)xy的切线斜率.如：①（湖南）过点12P（，）且与曲线2342yxx在点11M（，）处的切线平行的直线方程是______.②点P在曲线323yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.3.求导公式'0(CC为常数）；1()'nnxnx；(sin)'cosxx；(cos)'sinxx；()'xxee；()'lnxxaaa；1(ln)'xx；1(log)'logaaxex.4.运算法则如果()()uxvx、有导数，那么()()''()'()uxvxuxvx，()''()cuxcux；()()''()()()'()uxvxuxvxuxvx；'2()'()()()'()()()uxuxvxuxvxvxvx.如：已知()fx、()gx都是定义在R上的函数，()0gx，()()()(),fxgxfxgx()()xfxagx，(1)(1)5(1)(1)2ffgg，在有穷数列()(1,2,,10)()fnngn中，任意取前k项和大于1516的概率是5.性质：若()fx在R上可导，证明：若()fx为偶（奇）函数，则'()fx为奇（偶函数.6.导数的应用：（一）用导数求函数单调区间的一般步骤.（1）求'()fx；（2）'()0fx的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；2'()0fx的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。如：1.已知0a，函数3()fxxax在1，上是单调增函数，则a的最大值是A.0B.1C.2D.32．若函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是________.解析：2'4yxb，若'y值有正、有负，则0b.3.设23()252xfxxx.（1）求()fx的单调区间；（2）当1,2x时，()fxm恒成立，求实数m的取值范围.（二）用导数求函数极值与最值的一般步骤.1.若函数()fx有导数，它的极值可在方程'()0fx的根处来考查，求函数()yfx的极值方法如下：（1）求导数'()fx；（2）求方程'()0fx的根；（3）检查'()fx在方程'()0fx的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数()yfx在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数()yfx在这个根处取得极大值.2.比较函数在闭区间,ab内所有的极值，以及()fa和()fb，最大者为最大值，最小者为最小值.如：1.直线ya与函数3()3fxxx的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.2.（山东卷）设函数()(1)ln(1)fxaxax，其中1a，求()fx的单调区间。37.不等式恒成立、能成立、恰成立问题（一）、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA，()fx的下界大于A（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB,()fx的上界小于A如：设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+]时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。如已知,22xaxxxf对任意0,,1xfx恒成立,试求实数a的取值范围;如R上的函数xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有022sin2cos2mfmf恒成立，求实数m的取值范围.如已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值3c，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。2、主参换位法如、若不等式a10x对1,2x恒成立，求实数a的取值范围如、若对于任意1a，不等式2(4)420xaxa恒成立，求实数x的取值范围如、已知函数323()(1)132afxxxax，其中a为实数．若不等式2()1fxxxa＞对任意(0)a，都成立，求实数x的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；4（3）解不等式max()gfx(或mingfx)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。如、当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.如、已知函数321()33fxaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.4、数形结合如、若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________如、当x(1,2)时，不等式2(1)xlogax恒成立，求a的取值范围。（二）、不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.如、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围______如、若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是．如、已知函数21ln22fxxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围（三）、不等式恰好成立问题的处理方法如、不等式2axbx10的解集为1|13xx则ab___________如、已知,22xaxxxf当xfx,,1的值域是,0,试求实数a的值.如、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；5（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。定积分1.定积分定义:bainifnabdxxf)(lim)(1,(一般了解即可)2.定积分的几何意义:当()fx在,ab上大于0时,badxxf)(表示由直线0),(,ybabxax和曲线()yfx所围成曲边梯形的面积;当()fx在ba,上小于0时,badxxf)(表示由直线0),(,ybabxax和曲线()yfx所围成曲边梯形的面积的相反数.注意:有些定积分可通过几何意义求出,如求badxx24－,因为badxx24－表示41圆的面积,故badxx24－=.3.定积分的性质:①badxxkf)(kbadxxf)(;②badxxfxf])(21）（［=badxxf)(1badxxf)(2③badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)((其中bca)4.微积分基本定理:badxxf)(=)()()(aFbFxFba(其中)()(xfxF).如：①若0(sincossin)xytttdt，则y的最大值是（）A．１B.2C.72D.0②.已知1,(02)()0,(0,2)xxfxxx，求31()fxdx的值③计算由直线4yx与曲线22yx所围成的平面图形的面积（先求出交点坐标A（2，－2）B（8，4），法一对x积分需要分段积分，法二对y积分不需要分段积分）④设函数2()(0)fxaxca，若100()()fxdxfx，001x≤≤，则0x的值为．解：112310001()()3fxdxaxcdxaxcx203acaxc033x∴