第九章欧氏空间习题

第九章欧氏空间习题一、填空题1．设V是一个欧氏空间，V，若对任意V，都有(,)0，则______。2．在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基12,,,n下的坐标是12(,,,)nxxx，那么(,)____i，||____。3．若33()ijAa是一个正交矩阵，则方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的解为。4.已知三维欧式空间中有一组基123(,,)aaa，其度量矩阵为110120003A，则向量12323的长度为。5.设中的内积为(,)'A，2112A则在此内积之下的度量矩阵为。6．设1(0,1,1)，2(2,1,2)，12k，若与2正交，则k。7．若欧氏空间V在某组基下的度量矩阵为200031011，某向量在此组基下的坐标为(1,1,1),则它的长度为，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,1,1)的夹角为。8．在欧氏空间中，若,线性相关，且2,3，则(,)。9．11010002Akk是度量阵，则k必须满足条件______________。10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是。11.在欧氏空间3R中，向量(1,0,1)，(0,1,0)，那么(,)=___________，=___________。12.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。13.已知A是一个正交矩阵，那么1A=__________，2A＝__________。V214.已知A为n阶正交阵，且0A，则A=。15.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。16.设1,1,0,0',1,0,0,1'XY，则X与Y的夹角。17.在n维欧氏空间V中，n级矩阵A是V某个基的度量矩阵的充要条件是。二、判断题1．在实线性空间2R中，对向量12(,)xx，12(,)yy，定义1122(,)1xyxy，那么2R构成欧氏空间（）2．在实线性空间nR中，对于向量12(,,,)naaa，12(,,,)nbbb，定义11(,)ab，则nR构成欧氏空间。（）3．12,,,n是欧氏空间V的一组基，对于V中任意向量,，均有1122(,)nnxyxyxy，（12(,,,)nxxx，12(,,,)nyyy分别是在此基下的坐标）），则此基必为标准正交基。（）4．欧氏空间3R中的线性变换可以将椭圆映射成圆。（）5．V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。()6．设V是一个欧氏空间，,V，，则与正交。（）7．设V是一个欧氏空间，,V,并且(,)0，则,线性无关。（）8．若,都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。（）9．欧氏空间nR中，()(2,2)xyxyxy为对称变换。（）10．是欧氏空间V的线性变换，V中向量,的夹角为2，而,的夹角为3，则不是V的正交变换。（）11.12,,,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijnnAa，其中(,)ijija，则A是正定矩阵。()12.欧氏空间nR中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（）13.若T是正交变换，则T保持向量的内积不变（）14.正交矩阵的行列式等于1（）15.欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）16.设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。（）17.在欧氏空间V中，若向量与自身正交，则0。()18.设A是n维欧氏空间V的正交变换，则A在V任意基下的矩阵是正交矩阵。()19.设12,VV是n维欧氏空间V的两个正交子空间且12VVV，则12VVV。()20.实对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。()三．选择题1．关于欧几里得空间，下列说法正确的是（）(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；(B)欧几里得空间未必是线性空间；(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间；(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。2．设,是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（）（A）222（B）(C)222（D）3．对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（）（A）一定有n个不同的特征根；（B）存在正交矩阵P，使'PAP成对角形；（C）它的特征根一定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交4．设是n维欧氏空间V的对称变换，则（）（A）只有一组n个两两正交的特征向量；（B）的特征向量彼此正交；（C）有n个两两正交的特征向量；（D）有n个两两正交的特征向量有n个不同的特征根。5．12(,,,)naaa，12(,,,)nbbb，定义：111222(,)nnnkabkabkab，则满足下列何中情况可使nR作成欧氏空间（）（A）120nkkk；（B）12,,,nkkk是全不为零的实数；（C）12,,,nkkk都是大于零的实数；（D）12,,,nkkk全是不小于零的实数6．123(,,)aaa，123(,,)bbb，M为三阶实方阵，定义(,)'M，下列可使定义作为3R的内积的矩阵是（）（A）012313120M；（B）111310102M；（C）200010003M；（D）702041213M.APP7．若欧氏空间3R的线性变换关于3R的一个标准正交基矩阵为100000001A，则下列正确的是（）（A）是对称变换；（B）是对称变换且是正交变换；（C）不是对称变换；（D）是正交变换。8．若是n维欧氏空间的一个对称变换，则下列成立的选项是（）（A）关于V的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵；（B）关于V的任意基的矩阵都是对称矩阵；（C）关于V的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵；（D）关于V的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。9．若是n维欧氏空间V的对称变换，则有（）（A）一定有n个两两不等的特征根；（B）一定有n个特征根（重根按重数算）；（C）的特征根的个数n；（D）无特征根。10．1212223434,aabbRaabb，如下定义实数(,)中做成22R内积的是（）（A）11(,)ab；（B）11223344(,)abababab；（C）1344(,)aaab；（D）11223344(,)234abababab.11.若线性变换与是（），则的象与核都是的不变子空间。.A互逆的.B可交换的.C不等的D.不可换的12.设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（）.A若(,)(,)；.B若；.C若(,)11；D.若0(,)||||。13.欧氏空间3R中的标准正交基是（）.A11(,0,)22；11(,0,)22；(0,1,0)；.B11(,,0)22；11(,,0)22；(0,0,1).C111(,,)333；111(,,)333；(0,0,0)；D.(1,1,1)；(1,1,1)；(1,1,1)。14.设是欧氏空间V的线性变换，那么是正交变换的必要非充分条件是（）.A保持非零向量的夹角；.B保持内积；V.C保持向量的长度；D.把标准正交基映射为标准正交基。15.A为n阶正交方阵，则.AA为可逆矩阵B.秩A1C.0AD.1A16.下列说法正确的是()A.实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交;B.实对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交;C.实对称矩阵A的所有特征向量都正交;D.以上都不对。17.(1)n维欧氏空间的标准正交基().A.不存在B.存在不唯一;C.存在且唯一;D.不一定存在。18.若nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（）。(A)''AAAAE(B)1A(C)222111211naaa(D)02122122111nnaaaaaa。四、计算题1．已知220212020A。求正交矩阵T，使'TAT成对角形。2．已知二次型222123121323()222ftxxxxxxxxx，问（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取1t，用正交线性替换化二次型f为标准形。3．已知二次型22212312232324fxaxxbxxxx，通过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求,ab及所用的正交变换的矩阵。(04xd2b)4．设A为三阶实对称矩阵，其特征值1=-1,2=3=1，已知属于1的特征向量1=(0,1,1)，求A。计算04xd2b)5．在[0,2π]上所有连续函数的全体构成的欧氏空间中，判断：对任意正整数n，集合{cos(),sin()|1,2,,}jxjxjn是否正交向量组。6．欧氏空间2R中，定义内积112212211212((,),(,))22xyxyxxxyxyyy，求其在'基（1，0），（0，1）下的度量阵。并求一组基，使得在此基下的矩阵为对角阵，且在此基下所有向量的长度不变。说明为什么对角阵不是单位矩阵。7．将二次曲面222322240xyzxyxyyz通过正交变换和平移变成标准形式。8．设欧氏空间3R的线性变换为(,,)(24,222,42)xyzxyzxyzxyz问：是否为3R的对称变换？若是，求出3R的一个标准正交基，使在这个基下的矩阵为对角形矩阵。9.把向量组1(2,1,0)，2(2,0,1)扩充成3R中的一组标准正交基。10.设123,,为V的基，且线性变换A在此基下的矩阵为111111111A（1）求A的特征值与特征向量；（2）A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得1TAT为对角形．五、证明题1．设，为同级的正交矩阵，且AB，证明：0AB．2．设是欧氏空间3R的线性变换，且证明：是3R的对称变换。3．证明：n维欧氏空间V与'V同构的充要条件是，存在双射:'VV，并且,V有(,)(,)．4．设12,,,m与12,,,m为欧氏空间V的两组向量。证明:如果(,)(,)ijij，,1,2,,ijm,则子空间112(,,,)mVL112(,,,)mVL与同构。5．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,,以下等式成立:(1)222222；(2)2211(,)44在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?6.设,为欧氏空间V的两个对称变换。证明:也是V的对称变换。AB)2,2,(),,(3213231321xxxxxxxxxx7．证明：实系数线性方程组1nijjijaxb，1,2,,in有解的充分且必要条件是向量12(,,,)nnbbbR与齐次线性方程组10nijjjax，1,2,,in的解空间正交。8．设为实对称矩阵，证明：当实数t充分大后，tEA是正定矩阵。9．设12,,,m与12,,,m是n维欧氏空间V的两组向量，证明：存