第二章_行波法—2

2.4三维波动方程的泊松公式研究波在空间传播问题.200010(,,,0)(,,)(,,)(,,)(,,)tttttuauxyztuxyzxyzuxyzxyz三维波动方程的初值问题2.4三维波动方程的泊松公式一、球对称情形cossinsincossinrzryrx2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru球坐标系2.4三维波动方程的泊松公式若仅是r的函数,则是r和t的函数,此时称定解问题是球对称的。),,(),,,(zyxzyx);,,(tzyxu222222222rururzuyuxuu球对称波动方程0222222rururatu进一步有0)()(22222rruatru2.4三维波动方程的泊松公式对球对称问题球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为2222200001()()0|0()|()()|()rttruruatrrururrrurrt2.4三维波动方程的泊松公式这个问题我熟悉！由达朗贝尔公式001001()()()()21(),02(,)()()()()21(),02ratratatratrratratratratrdratarurtratratatratrrdratar2.4三维波动方程的泊松公式二.一般情况dtudSturtruMMrSS1),,,(41),,,(41),(2令表示在球面上的平均值。),(tru),,,(tzyxuMrScos,sinsin,cossinrzryrx其中M=M(x,y,z),是球面上的点,,,MrS2.4三维波动方程的泊松公式二.一般情况dtudSturtruMMrSS1),,,(41),,,(41),(2令2.4三维波动方程的泊松公式表示以M为中心的单位球面，MS1表示上的面积元素，dSMrSdrdS2ddddsin表示单位球面上的面积元素，dtrzryrxutruMS1),cos,sinsin,cossin(41),(),(),0(tMutu即而),,(),(lim0tMutrur2.4三维波动方程的泊松公式以下推导所满足方程及初始条件。),(tru222221414MrMrBBudVrudVart高斯公式dSnurdnuduuuruMrMMSSS24141cossinsincossin41112.4三维波动方程的泊松公式进一步有：dSudtdVtururaMrMrSrB02222224两边关于r求导，得dSutrurarMrS22224得dSturtruMrS),,,(41),(22222244turrurra由2.4三维波动方程的泊松公式即22222turrurra22222)(2rurrrurrurrurr0)()(22222ruratur可得：由22222)(turrtur0)()(22222ruratur2.4三维波动方程的泊松公式由初值条件和的表达式，有：),(tru0001()()|,|ttrururrt其中分别是函数在上的球平均值。01,01,MrS满足如下定解问题：ur2222200001()()00,0()|0()|()|rttruruarttrrururrurt2.4三维波动方程的泊松公式22222()()0ruruatr方程的通解为12()()rufratfrat120121()()()'()'()()frfrrrrfrfrra利用初始条件0001()()|,|ttrururrt有其中是两个二次连续可微的任意函数2,ff2.4三维波动方程的泊松公式1010201011()()()211()()()2rrfrrrdCafrrrdCa所以001()()()()(,)21()2ratratratratratraturtrdar解方程组得2.4三维波动方程的泊松公式22212322212312311231(,)1((),(),(),)4(,,,)urtuxryrzrtduxryrzrtd(,)(,)urturt将延拓到r0的范围内。并且(,)urt同理也是偶函数01(),()rr利用2.4三维波动方程的泊松公式所以ratratatratratrdarrratratatratratrdarratratratratrtru0)(212)()()()(0)(212)()()()(),(2.4三维波动方程的泊松公式由于，只考虑的情形0r0atr001()()()()1(,)()22atratratratrratraturtdrar001001lim(,)()'()()1[()]()rurtatatattatatattatat利用洛必达法则2.4三维波动方程的泊松公式2ππ00022ππ12002(0,)1(sincos,sinsin,cos)4π()sindd(sincos,sinsin,cos)4()()sinddutxatyatzatatatattxatyatzatatat011(,)4MMatatSSuMtdSdSatatat即简记成2.4三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式三、泊松公式的物理意义从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设且，3RT),,(zyxTzyxTzyxzyx),,(0),,(0),,(1.在任一固定点的振动情况),,(000zyxM设，由沿以M为中心，at为半径的球面的曲面积分所决定。TM),,(minQMdTQ),,(maxQMDTQ),(tMu,MatS2.4三维波动方程的泊松公式0),(tMuM点处于静止状态，说明T的振动尚未达到M点。①当时，为空集，所以TSMatadtt1②当时，不为空集，aDttt21TSMat0),(tMu所以M点处于振动状态,表明T的振动已传到M点。③当时，为空集，说明振动已传过M点，M点仍回复到静止状态。aDtt2TSMat2.4三维波动方程的泊松公式2.在某固定时刻，初始时刻的振动所传播的范围0tTP),,(设，T是半径为R的球体。由Poisson公式，只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值，故P点的初始扰动，在时刻只影响到以P为球心，以为半径的球面0at),(tMu0t0at22222)()()(:0tazyxSMat当P在T内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为T内各点的振动在时刻所传播的区域，称为T在时刻的影响区域。0t2.4三维波动方程的泊松公式总之，三维空间中有限区域T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为Huygens原理。在足够大时，包络面以T的心o(T)为心，分别以和为半径的球面所夹部分。故时刻的影响区域为的球壳，球面是振动到来的前峰，称为波的前阵面,球面是振动传过后的后沿，称为波的后阵面。0tRat0RatrRat000tRat0)(0TORatS)(TORatS2.4三维波动方程的泊松公式Rat0Rat0R2.4三维波动方程的泊松公式[解]例.设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为：,求解相应的Cauchy问题。0,zyxzyxddatddatddzyxattaπ20π02π20π022π20π0cossin)(sin)cos(sin)(sin)]([π41ddatatatzyxtausin)()cossinsincos(sinπ412π20π02.4三维波动方程的泊松公式三.降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题20001()0,,0(,),(,),ttxxyytttuauuxytuxyxyuxyxy设解为,令，则(,,)uxyt(,,,)(,,)uxyztuxyt20001()0(,)(,)ttxxyyzztttuauuuuxyuxy2.4三维波动方程的泊松公式由泊松公式011(,,,)4MMatatSSuxyztdSdSatatat2222()()xyat球面在平面上投影为MatS0MatCdcosddS设其上面积微元为，则由投影关系有：222()()()cosatxyzatat其中v表示dS的单位法向量与之夹角，d2.4三维波动方程的泊松公式又上、下两球面的投影有对称关系，故022212221(,)(,,,)2()()()(,)()()()MatMatuxyztddatatxyddatxy柱面波