第二章_解析函数的微积分

第二章解析函数的微积分一.复变函数的导数二.解析函数三.初等函数四.单连域内的Cauchy定理五.多连域内的Cauchy定理六.Cauchy积分公式和高阶导数公式七.Talor级数一．复变函数的导数1导数2有限增量公式3Cauchy-Riemann条件1导数设复变函数()wfz总定义在某个区域D内。设0zD，则由区域的性质可知，对任意充分小的正数，有():00UzzzzD，称0()Uz为0z的一个邻域。记)()(000yyixxzzz。模仿一元实函函数的导数定义，若zzfzzfz)()(lim000存在，则称)(zf在0z处可导，导数记为()()00()lim00fzzfzfzzz当()wfz在区域Ｄ内每点可导，就定义了函数()fz：()()()lim0fzzfzzDzz称为()wfz的导函数。2有限增量公式设()fz在0z的一个邻域()0Uz内有定义，()fz在0z处可导。定义：()()000(),0()00fzzfzzfzhzzz(2-1)由于()fz在0z可导，lim()00hzz。当0z，有00()()()()fzzfzfzzhzz0(2-2)或000()()()()fzzfzfzzoz（2-3）而式（2-3）当0z显然也成立。我们称式（2-3）为有限增量公式。例2-1若()fz在0z可导，则()fz在0z连续。证：由于()fz在0z可导，所以，由有限增量公式（2-3）有lim()00lim[()()()]000()lim[()()]000()0()00fzzzfzfzzhzzzfzfzzhzzzfzfz即()fz在0z连续。例2-2证明1nnznz。证：对任意复数0z，直接按导数定义得到（利用二项式展开公式）：112212000()()()0lim0lim()010nnnnnnnnCzCzzCzzznnzzzzzznnz。3Cauchy-Riemann条件()fz在点zxiyD可导的必要与充分条件是：在点zxiy，(,)uxy及(,)vxy可微，并且满足下述Cauchy-Riemann条件：uvxyuvyx。当()fz在点zxiyD可导时，还有()uvvufziixxyy(2-4)证：先证明条件的必要性。设()fz在点()xiyD有导数，aib，这里a及b是实数。由有限增量公式，当zzD时，()()()()()(),0fzzfzzzaibxiyzz(2-5)这里()oz可表示为uvEiE，其中()uEoz，()vEoz。比较上式两边的实部及虚部：(,)(,)(),0uuxxyyuxyaxbyEaxbyzz，(2-6)(,)(,)(),0vvxxyyvxybxayEbxayzz(2-7)即，在点zxiy，(,)uxy及(,)vxy可微，并且,,,,uuvvabbaxyxy(2-8)由此可推出Cauchy-Riemann条件。再证明条件的充分性。由于(,)uxy及(,)vxy在点zxiy可微，并且（2-4）成立，我们有式（2-6）及式（2-7），其中(0)zzDz，a及b由式（2-8）给出。用i乘式（2-7）两边，把所得结果与式（2-6）相加，就得到式（2-5）。由于0z，用z除式（2-5）式两边，再令0z取极限得到00()()limlimuvzzEEfzzfzaibaibzz再次用0lim0uzEz，0lim0vzEz这样即证明了()fz在点zxiy有导数aib，并有'()xxyyfzuivviu(2-9)设函数()(,)(,)fzuxyivxy在D内确定，点zxiyD，若,xyuu，yxvv,在点),(yx连续，并且在该点),(yx满足C-R条件：uvxy，uvyx，则()fz在z点可导。证：由高等数学中二元微分学的已知结论：若,xyuu，yxvv,在),(yx连续，则vu,在),(yx可微。结合条件：vu,在),(yx满足C-R条件，由定理1可知，()fz在z点可导。例2-3zw在复平面上处处不可导。证：由yixzw，可见,),(xyxu,),(yyxv但是,1xu1yv.所以zw在复平面上处处不满足C-R条件。由定理1可知，zw在复平面上处处不可导。例2-42zw当且仅当0z可导。证：由iyxzw0222，有,),(22yxyxu0),(yxv,于是有xux2，yuy2，0xv，0yv。易见),(),,(yxvyxu在复平面处处可微。但C-R条件要求：,02yxvux,02xyvuy只有当0z时成立。由定理1可知，2zw当且仅当0z时可导。二．解析函数1解析函数的定义2解析函数判别定理3解析函数的运算规律二解析函数1解析函数的定义定义１设)(zfw在一个区域D内有定义，若)(zf在D内处处可导，称)(zf在D解析。例如，2)(zzf.由于2z在复平面内处处可导，故它在复平面解析。又如zzf)(，虽在复平面内处处有定义，但它却处处不可导，自然称z在复平面不解析。而zzf1)(在复平面内除去0z外处处可导，它在0z无定义，故不可导。由于一点的瑕疵而不得不称zzf1)(在复平面不解析。但在zzD0内z1处处可导，故z1在D解析。由此可见讲)(zf的解析性不能离开指定区域泛泛而论，而且D的特性对)(zf的解析性影响极大。以上复平面为单连域而D为多连域，这种纯粹点集意义上的差别却造成了同一表达式的复变函数具有截然不同的分析性质。而以下例子更启发我们要注意复变函数在一个点处的性质。例2-52)(zzf在复平面不解析。证：由例2-4可知，2)(zzf，当且仅当0z时可导，故由定义可知2)(zzf在复平面不解析。值得注意的是，2)(zzf在任一以0z为心的邻域内，当然除了0z外也处处不可导。故如果要给出)(zfw在一点处解析的定义，自然不能只规定)(zf在这一给定点处导数存在，这是不够的，而必须是以下的说法。定义２若存在0，)(zf在||)(00zzzzU内处处可导，称)(zf在0z解析。于是2)(zzf在0z不解析。可见可导性是解析性之必要条件，但非充分条件。在解决具体问题时，定义１是从全局考虑，而定义２却便于我们处理一些局部问题。定理3设D为区域，则)(zf在D解析的充分且必要条件为)(zf在D内处处解析。证：因)(zf在D内处处解析，由定义2立刻得知，)(zf在D内处处可导，再由定义1可知)(zf在D解析。任取一点Dz，由于D为区域，故存在0，使得||)(00zzzzU含于D内，由定义1知)(zf在D内处处可导，从而)(zf在)(zU内处处可导，再由定义2可知)(zf在z解析。由z在D内的任意性，得知，)(zf在D内处处解析。注：“)(zf在D解析”和“)(zf在D内处处解析”两种说法是吻合的。2解析函数判别定理依据定理1以及定义2，可推出：定理4(在一点解析的判别定理)设函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内有定义，0zD,则()fz在0z点解析的充分与必要条件是：存在0z点的一个邻域0()Uz,使(,),(,)uxyvxy在0()Uz内可微，而且在0()Uz内C-R方程,uvuvxyyx（2-9）成立。而依据定理1以及定义2，可推出：定理5(一区域上的解析函数的判别)设函数()(,)(,)fzuxyivxy，则()fz在区域D解析的充分与必要条件是：(,),(,)uxyvxy在D内可微，并且在D内式（2-9）成立。当()fz为解析时，还有()uvvufziixxyy（2-10）例2-6判别下列函数是否解析：（1）()(cossin)xfzeyiy；（2）()Re()fzzz。解：（1）因为cos,sinxxueyvey处处可微，又cos,sinxxuueyeyxysin,cosxxvveyeyxy所以(,),(,)uxyvxy处处满足C-R方程。从而由解析函数判别定理知，()fz在复平面上处处解析，并且应用(2-2)式，得到当()(cossin)xfzeyiy，'()()fzfz（2）因为2Re()(,),Im()(,)2,0,,fzuxyxfzvxyxyuuvvxyxxyxy显然,uv处处可微，并且仅当0,0xy时，它们才满足C-R方程，所以()Refzzz仅在点0z处可导，故()fz处处不解析。例2-7设()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析，并且()0()fzzD,则()()fzc常数。证按照假设()0uvvufziixxyy由此推出，当zD时，有0uuvvxyxy从而，有0,0()dudvzD当故12,ucvc，于是12()fzcic3解析函数的运算规律由于复变函数导数定义的形式与高等数学中一元函数的情形相同，容易证明：如果()fz及()gz都在区域D解析，那么()()fzgz，()()fzgz以及()()fzgz也在D解析，不过，在()()fzgz这一情形下，还要假设()gz在D内每一点都不为0。有[()()]()(),fzgzfzgz(2-11)[()()]()()()()fzgzfzgzfzgz(2-12)2()()()()()()[()]fzfzgzgzfzgzgz(2-13)由此可见，在同一区域内有限个解析函数，经过有限次算术运算，仍然得到一个在原区域内解析的函数，不过在作除法时，除式必须在所考虑的区域内不取0值。其次，考虑复合函数的导数，设=()fz在z平面上的区域D解析，=()F在平面上的区域1D解析，而且当zD时，1()fzD，那么[()]Ffz在D解析，并且d[()]d()d()dddFfzFfzzz(2-14)这一结果的证明与高等数学中相应结果的证明完全类似。另外，有以下反函数求导公式：设)(zfw在区域D解析，且当Dz时，0)(zf，又设)(whz为)(zfw的单值连续反函数，满足))((whfw，则)(whz在区域DzzfwwG),(解析，且有))((1)(1)()(whfzfwhwhz(2-15)根据导数定义，并利用例2-2，结合四则运算法则式（2-11）、（2-12）和（2-13），容易得到：（1）如果()fz（常数），那么()0fz。（2）z的任何多项式01()...nnPzzz在整个复平面解析，它的导数的求法与z是实变数时相同。（3）在复平面上，任何有理函数（即两个多项式的商），在除去使分母为0的点后的区域解析，而且它的导数的求法与z是实变数时相同。而下例是复合法则（2-14）的应用。例2-8求211()(345)fzzz的导数fz。解：210()11(345)(64)fzzzz三．初等函数1指数函数2对数函数3幂函数4三角函数5反三角函数三初等函数本节把高等数学中研究的初等函数推广到复变函数课程中来。1指数函数当Ry，由欧拉公式yiyeiysincos