第二章可靠性的数学基础及特征量.

沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量表示和衡量产品的可靠性的各种量，统称为可靠性的特征量。可靠性特征量概率指标寿命指标可靠度累计失效概率失效率平均寿命可靠寿命中位寿命特征寿命沈阳理工大学装备工程学院可靠度-----产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的概率。一般用R(t)表示。规定条件是指产品所处的环境条件（温度、湿度、振动、辐射、风沙等）、使用条件（连续工作，非连续工作）、维修条件（维修保养措施、修理技术条件）等。规定时间表示方法和长短依据产品及其功能不同而异。可以用周期、次数、里程等代替。时间概念可以包含被研究产品的任何观察期间或是实际工作期间和贮存期等。规定功能是指产品的性能指标，如火炮的射程、射速，弹丸的威力，引信的灵敏度、瞬发度，电阻的阻值、功率、精度等等。第2章可靠性的数学基础及特征量2.1可靠度与可靠度函数沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量产品的寿命T大于时间t;产品在时间t内完成规定的功能；产品在实践t内不失效（无故障）；产品的可靠度概率可以通过频率来近似表示。设产品总数N，在规定时间t内累积失效数为nf(t),仍正常工作的产品数为N-nf(t),则产品可靠度为R(t)＝P(Tt)≈[N-nf(t)]/N沈阳理工大学装备工程学院产品的可靠度是时间的函数，随着时间的增长，产品的可靠度会越来越低，它介于1与0之间，即0≤R(t)≤1。1tR(t)第2章可靠性的数学基础及特征量沈阳理工大学装备工程学院产品的累积失效概率示随着时间的增长而增大的，它是介于1与0之间的数。1tF(t)第2章可靠性的数学基础及特征量失效概率-----产品在规定的条件下和规定的时间内不能完成规定功能的概率，称为累积失效概率。一般用F(t)表示失效概率分布函数。可以表示为：F(t)=P(T≤t)=nf(t)/N沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量失效密度----失效密度函数是累积失效概率对时间的变化率，记为f(t)。f(t)是产品寿命落在包含t的单位时间内的失效概率，也就是产品在单位时间内的失效概率。表达式为：tNtntfftdttftF0)()(tf(t)R(t)f(t)F(t)tdttftR)()(dttdRtf)()(0tdttdFNdttdntff可靠度函数与累积故障分布函数的性质图R(t)、F(t)与f(t)的关系tf(t)f(t)F(to)R(to)to由密度函数的性质1)(0dttf可知：ttdttfdttftFtR)()(1)(1)(0因此，R(t)、F(t)与f(t)之间的关系如图所示。、沈阳理工大学装备工程学院失效率-----产品工作到某时刻后，在单位时间内发生失效的概率；即产品在t时刻后单位时间的失效数与在t时刻尚未失效的产品数的比值。记为λ(t)。第2章可靠性的数学基础及特征量设有n个产品，工作到t时刻已经失效nf(t)，则尚未失效的产品数为ns(t)=n-nf(t)，若在此后的⊿t时间内，即在（t,t+t）时间区间内又有⊿nf(t)个产品失效，则产品在⊿t时间内的平均失效率为ttnntnttnttnntntfffff)(沈阳理工大学装备工程学院瞬时失效率表达式：dttdntnttnntntfsfft1lim)(第2章可靠性的数学基础及特征量ntntRsntntFfdttdRdttdFtftRtfdttdFtRndttdntnntfs1etdxttR0)()()()()()()()()()()(00tRtftNtNdttNtdrdttNtdrtss，所以由于dttdRtf)()(tttRdtttRtdRdtt00|)(ln)()()()(tdttetRetRto)()()(故障率与可靠度、故障密度函数的关系故障率函数对于低故障率的元部件常以10-9/h为故障率的单位，称之为菲特（Fit）。故障率实例[例]右表为某产品10万个在18年内的故障数据，试计算这批产品1年、2年…的故障率。t（年）r(t)×1000个r(t)×1000个(t)(%/年)00101211321431543676713108231493715………1799118100/01.001.011.021.033.126.4511.4918.1823.81…100.0/产品故障浴盆曲线浴盆曲线大多数产品的故障率随时间的变化曲线形似浴盆，称之为浴盆曲线。由于产品故障机理的不同，产品的故障率随时间的变化大致可以分为三个阶段：产品典型的故障率曲线t使用寿命早期故障偶然故障耗损故障AB规定的故障率维修后故障率下降(t)故障率与可靠度、故障密度函数的关系（系统）产品典型的故障率、可靠度和故障密度函数曲线t(t)早期故障偶然故障耗损故障f(t)R(t)沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量tftftFtFtRtRtRtFtftttdttdFdttdRtdttet0tdttf0tdttf01dttftft01dttFtdF1tF1tR1tRtftdtte0tdtte01沈阳理工大学装备工程学院失效率与失效概率的区别失效率是产品工作到t时刻，在还有ns(t)个产品尚未失效的条件下，发生失效的条件概率密度。更直观地反应产品在t时刻的失效情况。失效概率是产品总体在t时刻发生失效的概率与尚未失效的产品数无关。失效密度主要反映产品总体在全部工作时间内的失效概率密度变化情况。第2章可靠性的数学基础及特征量沈阳理工大学装备工程学院2.2可靠性寿命特征量第2章可靠性的数学基础及特征量寿命是可靠性特征的又一表示方法，产品的寿命是产品具有可靠性要求下的时间表示，是反映产品可靠性的时间指标，如平均寿命、可靠寿命、中位寿命以及特征寿命。产品不可修复产品：发生故障即报废，不能够恢复到原有正常工作状态。可修复产品：产品发生故障后，经维修还能够继续完成规定的功能。沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量平均寿命-----寿命的数学期望。不可修复产品平均寿命是失效前的平均工作时间。记作MTTF。niitNMTTFt11设N个不可维修产品在同样条件下试验，测得全部寿命数据（每次失效时间）为t1，t2，…tn，则平均寿命为：沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量若子样比较大，即N很大，则将数据分成ti为中值的m组，每组的失效数为，则irmiiirtNt11每组的频率为Nrpiimiiiptt1离散型随机变量的数学期望沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量令m→∞,则dttfdtdtdrNNrii1积分dttftt0由dttdRtf00dttRdtdttdRttm（m→∞）产品的平均寿命等于产品可靠度在所有时间段上的积分。tRt1t沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量可修复产品平均寿命是相邻两次故障之间的平均工作时间，称平均无故障工作时间。记作MTBF。一个可修复产品在使用中发生N次故障后，经过修复后同新产品继续投入工作，其工作时间分别为为t1，t2，…tn，则平均寿命为：NTtNMTBFtnii11T为总工作时间显然，系统的平均故障间隔时间与系统的维修效果有关。沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量可靠寿命-----给定产品可靠度对应的时间，当给定可靠度R(t)=R0时，由R(t)=R0解出t值，即为可靠寿命。记作tRRRtR1某产品寿命服从指数分布时，tetR，求tR。tReRRRt11RtRln1特征寿命-----当可靠水平等于e-1时的可靠寿命。记为te-1。中位寿命-----是指可靠度等于0.5时的可靠寿命，记作t0.5。沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量2.3常用几种失效分布所对应的可靠性特征量可靠性的各个特征量都与产品寿命T的分布函数相关。只有已知失效分布函数F(t)或失效密度函数f(t)时，确定其他各特征量的具体表达式。产品寿命T的分布主要有指数分布，正态分布，对数正态分布和威布尔分布等。{}()baPaxbfxdx概率密度函数定义设X为一随机变量，若存在非负实函数f(x),使对任意实数ab，有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.()()xFxftdt分布函数定义则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.2112{}()xxPxXxfxdx1x2x概率密度函数的性质()0,(,)fxx(1)非负性()1fxdx(2)规范性()fx{}1Px密度函数和分布函数的关系积分关系导数关系()()xFxfxdx(){}FxPXx()xfxdx()()()fxxFxfx若在处连续，则寿命分布寿命分布（或故障分布、失效分布）是可靠性工程应用和可靠性研究的基础。寿命分布的类型各种各样，某一类分布适用于具有共同故障机理的某类产品，它与装备的故障机理、故障模式以及施加的应力类型有关。寿命分布是将工程问题抽象简化后，在理论上对其特性进行深入研究。产品的寿命分布是产品故障规律的具体体现；分析寿命分布的过程，实际上是从可靠性角度对产品进行分类的过程，达到在理论上对可靠性研究的深化，在工程上对可靠性的分析、试验、验证、评估等的定量化。寿命分布确定产品的寿命分布类型有重要意义，但要判断其属于哪种分布类型仍很困难。目前常用方法有两种，一种是通过失效物理分析来证实该产品的故障模式或失效机理近似地符合于某种类型分布的物理背景。另一种方法是通过可靠性试验，利用数理统计中的判断方法来确定其分布。沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量1、产品寿命T服从指数分布(含有一个参数λ)tf(t)2)可靠度和分布函数tttedtetRtetRtF111)概率密度函数0tetft3）失效率t概率密度函数曲线沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量5）可靠寿命4)平均寿命1100ttedtettReRRRt11RtRln16）中位寿命tt693.05.0ln15.0沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量1ln111ete7）特征寿命8）寿命方差和寿命标准差022211dtettt1t产品服从指数分布时，可靠度就已经下降到37%，只有37%的产品寿命超过平均寿命。沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量例：设某产品的失效时间服从指数分布，其平均寿命为5000h,试求其使用125h的可靠度R(125)和可靠度为0.8的可靠寿命t0.8。ht5000解：已知平均寿命失效率为ht/5000119753.012512550001eeRt可靠寿命)(18.0tRt8.08.050001teht7.11158.0ln50008.0可靠度沈阳理工大学装备工程学院第2章可靠性的数学基础及特征量1）失效概率密度函数22121)(tetfttR1)(2221)(zez标准正态分