第二章基本初等函数(一)复习课.

第二章基本初等函数复习课知识要点1.整数指数幂的运算性质(1)am·an=am+n(m,n∈Z)(2)am÷an=am-n(a≠0,m,n∈Z)(3)(am)n=amn(m,n∈Z)(4)(ab)n=anbn(n∈Z)2.根式一般地，如果一个数的n次方等于a(n＞1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．3.根式的性质(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示.(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示.正负两个n次方根可以合写为(a＞0)(3)(4)当n为奇数时，；当n为偶数时，(5)负数没有偶次方根(6)零的任何次方根都是零nananana()()=00aaaa()aann=nnaa=||nnaa=4.分数指数幂的意义5.有理数指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a＞0，r,s∈Q)；(2)ar÷as=ar-s(a＞0，r,s∈Q)；(3)(ar)s=ars(a＞0，r,s∈Q)；(4)(ab)r=arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)*一般地，当a0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上运算律对实数指数幂同样适用.*(1)(0,,,1)mnmnaaamnZn=*11(2)(0,,,1)mnmnmnaamnZnaa==6.指数函数一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R7.指数函数的图象和性质在R上是减函数(4)在R上是增函数(3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1(2)值域(0，＋∞)(1)定义域：Ra10a1性质图象1,()xxyaya==底数互为倒数的两个指数函数的函数图像关于y轴对称。当a1时，a值越大，的图像越靠近y轴；当0a1时，a值越大，的图像越远离y轴。xya=xya=8.对数一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN自然对数：通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.9.对数恒等式叫做对数恒等式()010log=NaaNaNa，且10.对数的性质(1)负数和零没有对数；(2)1的对数是零，即loga1=0；(3)底数的对数等于1，即logaa=111.对数的运算法则如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么12换底公式bNNaablogloglog=注意换底公式在对数运算中的作用：①公式顺用和逆用；②由公式和运算性质推得的结论的作用.bNNaablogloglog=bmnbanamloglog=13.对数函数函数y=logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).因为对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称.14.对数函数的图象和性质对数函数y=logax的图象和性质分a＞1及0＜a＜1两种情况.注意作图时先作y=ax的图象，再作y=ax的图象关于直线y=x的对称曲线，就可以得到y=logax的图象，其图象和性质见下表14.对数函数的图象和性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数1log,logxaayxy==底数互为倒数的两个对数函数的函数图像关于x轴对称。当a1时，a值越大，y=logax的图像越靠近x轴；当0a1时，a值越大，y=logax的图像越远离x轴。15、函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.xyO函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点幂函数的性质21xy=RRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)增[0,+∞)(0,+∞)减(-∞，0]减(-∞，0)减RR奇奇奇增增增偶非奇非偶{x|x≠0}{y|y≠0}(1,1)1.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()(A)a＜b＜1＜c＜d(B)a＜b＜1＜d＜c(C)b＜a＜1＜c＜d(D)b＜a＜1＜d＜cD2．已知函数(a＞1).（1）判断函数f(x)的奇偶性；11)(=xxaaxf四、例题分析121-()=log.-1axfxaxa设为奇函数，为常数求的值；1112221()()111logloglog.111fxfxaxaxxxxax===解：（）因为，所以11111(1)(1)(1),1(1).axxxxaxaxaxxxxaa====所以对任意成立，即（）对任意成立所以舍去8log3136.0log2110log3log2log2155555计算的定义域求函数)3(log21xyx=}3221|{xxx或=14.若loga2＜logb2＜0，则()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜aB[解析]∵ab0，∴a－b0，a＋b0，当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.已知ab0，n1，n∈N*，化简n(a－b)n＋n(a＋b)n.[分析]应用nan＝aa0或n为奇数－aa0且n为偶数求解．求函数y＝14x＋12x＋1的值域．[解析]令t＝12x，则t0，∴y＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34，在(0，＋∞)上为增函数，∴y1，∴此函数值域为(1，＋∞)．特别注意2.要充分利用指数函数和对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的性质，并进行总结回顾.1.研究指数、对数问题时尽量要为同底，另外，对数问题中要重视定义域的限制.