第二章控制系统数学模型_xlj

自动控制理论华侨大学信息学院电气工程及其自动化专业第二章控制系统的数学模型内容提要：本章重点:a、微分方程建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图动态结构图的绘制,等效变换方法；各种模型表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用第二章控制系统的数学模型第一节控制系统的时域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型第二章控制系统的数学模型第三节控制系统的结构图与信号流图问题：第二章控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类?常用数学模型的种类：静态模型动态模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型数学模型描述的是各变量间的动态关系，则为动态数学模型数学模型表示的是各阶导数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型•分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。•建立数学模型的方法分为解析法和实验法第二章控制系统的数学模型上一目录第二章自动控制系统的数学模型解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。第一节控制系统的时域数学模型第二章自动控制系统的数学模型（1）确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。（2）建立初始微分方程组将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立第一节控制系统的时域数学模型ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RLC电路输入量：输出量：(1)确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组(3)消除中间变量，使式子标准化根据基尔霍夫定律得：微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RLC电路是二阶常系数线性微分方程。第一节控制系统的时域数学模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=Ri++ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22．机械位移系统系统组成：质量弹簧阻尼器输入量弹簧系数km阻尼系数fF(t)输出量x(t)(2)初始微分方程组F=ma根据牛顿第二定律系统工作过程：(1)确定输入和输出F(t)–F1(t)–F2(t)=ma中间变量关系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=kx(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+kx(t)=F(t)+消除中间变量得:第一节控制系统的时域数学模型3．电枢控制直流电动机Ua系统组成：直流电机负载输入:电枢电压励磁电流Ia电磁转矩Mm负载转矩Mc摩擦转矩Tf工作原理：电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度第一节控制系统的时域数学模型)(tm第一节控制系统的时域数学模型由图，直流电动机的运动方程由三部分组成：1、电枢回路电压平衡方程：()()()aaaaaaaemditutLRiEdtECt2、电磁转矩方程：()()mmaMtCit3、电动机轴上的转矩平衡方程()()()()mmmmmcdtJftMtMtdt第一节控制系统的时域数学模型消除中间变量得到直流电动机的微分方程)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma第一节控制系统的时域数学模型由于电枢电感较小，通常可忽略不计，上式可简化为：aL)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm式中：如果忽略和，上式可进一步简化为：)/(emmamamCCfRJRT)/(1emmamCCfRCK)/(2emmaaCCfRRKaRmJ)()(tutCame第一节控制系统的时域数学模型)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。第一节控制系统的时域数学模型二、控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量第一节控制系统的时域数学模型举例4：速度控制系统的微分方程第一节控制系统的时域数学模型控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1121111,)(RRKuKuuKuefg运放212211122,,)(RRKCRudtduKu功放23uKua直流电动机CCammmmMKuKdtdT第一节控制系统的时域数学模型减速器（齿轮系）mi1测速发电机ttKu消去中间变量matuuuu21CCggggmMKuKdtduKdtdT得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）第一节控制系统的时域数学模型三、线性系统的基本特性1、线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。2、叠加原理具有可叠加性和均匀性。)()()()(22tftcdttdcdttcd例如：有线性微分方程若时，解为：)()(1tftf)(1tc若时，解为：)()(2tftf)(2tc第一节控制系统的时域数学模型可叠加性：当时，微分方程的解为均匀性：当时，A为常数，微分方程的解)()()(21tftftf)()()(21tctctc)()(1tAftf)()(1tActc四、线性微分方程式的求解工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求解拉氏反变换微分方程的解第一节控制系统的时域数学模型1．拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：(1)t0时f(t)=0(2)t≥0时f(t)是分段连续的0(3)∫f(t)edt∞-st∞f(t)的拉氏变换为：0F(s)=∫f(t)edt-st∞记作F(s)=L[f(t)]拉氏反变换为：f(t)=L-1[F(s)]第一节控制系统的时域数学模型2．常用函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数I(t)f(t)t010F(s)=∫I(t)edt-st∞=S1(2)单位脉冲函数δ(t)f(t)t00F(s)=∫δ(t)edt-st∞=1(3)单位斜坡函数tf(t)t00F(s)=∫tedt-st∞=S21(4)正弦函数Sinωtt0f(t)=s2+ω2ω0F(s)=∫Sinωtedt-st∞(5)余弦函数Cosωt0F(s)=∫Cosωtedt-st∞=s2+ω2s(6)指数函数-atef(t)t010F(s)=∫eedt∞-at-st=1s+a(7)抛物函数t212t2e120F(s)=∫∞-stdtf(t)t0=S31第一节控制系统的时域数学模型3．拉氏变换的定理(1)线性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函数f(t)=Sinωt的拉氏变换．解：2je-eSinωt=jωt-jωtL[Sinωt]=2j1s-jω[1-]s+jω1=s2+ω2ω(2)微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)例求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1sL[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)第一节控制系统的时域数学模型(3)积分定理L[∫f(t)dt]=1sF(s)+f-1(0)s(4)延迟定理L[f(t-τ)]-τs=eF(s)例求f(t)=t-τ的拉氏变换．解：f(t)t0tτt-τ-τsF(s)=L[t]e=s2-τs1e(5)位移定理-atL[ef(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=eSinωt的拉氏变换．-atF(s)=(s+a)2+ω2ω(6)初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→0(7)终值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0第一节控制系统的时域数学模型4．拉氏反变换象函数的一般表达式：F(s)=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an分解为K(s–z1)(s–z2)···(s–zm)(s–p1)(s–p2)···(s–pn)=零点极点转换为=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+部分分式法求拉氏反变换,实际上是求待定系数A1,A2,…,An.极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.待定系数第一节控制系统的时域数学模型(1)不相等实数极点Ai=F(s)(s-pi)s=pi解：例求拉氏变换．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t第一节控制系统的时域数学模型(2)复数极点A(s)(s–p1)(s–p2)···(s–pn)F(s)=p1,p2共轭复数极点分解为=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)s=p1=A1s+A2s=p1根据求待定系数A1,A2.例求拉氏变换．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=119A1=-19A3=-s/9+1+s(s2+9)=1/9s/9-s(s2+9)F(s)=1/91+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+第一节控制系统的时域数学模型(3)重极点A(s)(s–p1)r(s–pr+1)···(s–pn)F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=s=p11((r-1)!dsr-1)下面举例说明第一节控制系统的时域数学模型例求拉氏变换．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1,A3,A4得：-12A1=23A3=112A4=d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=s=p11((2-1)!ds2-1)d[=s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=-34A2=+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：第一节控制系统的时域数学模型5．用拉氏变换解微分方程下面举例说明求解线性微分方程的方法。例求拉氏反变换．r(t)=20I(t)+2c(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)(2)解代数方程s(s2+3s+2)C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反变换s(s+1)(s+2